ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ

$$\sqrt{6x-2} - \sqrt{2x+7} = 1$$

ผลบวกของกำลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]ใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้างแก้สมการ[/step]

จากโจทย์กำหนด ย้ายพจน์ที่ติดลบไปฝั่งตรงข้ามของสมการก่อน

\begin{eqnarray*}
\sqrt{6x-2} - \sqrt{2x+7} &=& 1\\
\sqrt{6x-2} &=& 1+\sqrt{2x+7}
\end{eqnarray*}

ยกกำลัง $2$ ทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
6x-2 &=& 1^2 + 2\sqrt{2x+7} + \left( 2x+7 \right)\\
6x-2x-2-1-7 &=& 2\sqrt{2x+7}\\
4x-10 &=&  2\sqrt{2x+7}\\
2x-5 &=& \sqrt{2x+7}\\
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
\left( 2x-5 \right)^2 &=& \left( \sqrt{2x+7} \right)^2\\
4x^2 - 20x +25 &=& 2x+7\\
4x^2 - 22x + 18 &=& 0\\
2x^2 - 11x + 9 &=& 0\\
(2x-9 )(x-1) &=& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x=\dfrac92,1$

[step]ตรวจคำตอบของสมการ[/step]

หมายเหตุ คำตอบที่ได้จากการแก้สมการที่มีพจน์ในรากที่สองและใช้วิธียกกำลังสองทั้ง $2$ ข้างของสมการต้องมีการตรวจคำตอบเสมอ

แทน $x=1$ ในทางซ้ายของสมการในโจทย์ พบว่า

\begin{eqnarray*}
\sqrt{6(1)-2} - \sqrt{2(1)+7} &=& \sqrt{4} - \sqrt{9}\\
&=& 2-3\\
&=& -1\\
&\neq& 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่เป็นจริง ดังนั้น $x=1$ ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้

แทน $x=\frac92$ ลงในข้างซ้ายของสมการโจทย์

\begin{eqnarray*}
\sqrt{6 \left(\frac92\right) -2 } - \sqrt{ 2 \left( \frac92 \right)+7} &=& \sqrt{27-2} - \sqrt{ 9+7}\\
&=& 5-4\\
&=& 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริง ดังนั้น $x=\dfrac92$ เป็นคำตอบของสมการนี้

ดังนั้น

$$A=\left\{ \frac92 \right\}$$

ผลบวกกำลังสองของสมาชิกใน $A$ เท่ากับ

$$\left( \frac92 \right)^2 = \frac{81}{4} = 20.25$$

[ANS]$20.25$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2