ถ้า $A$ เป็นเซตของอสมการ

$$\left( x^2-2x-16 \right) \log_2 \left(2-\sqrt3\right) < \log_2 \left(2+\sqrt3\right)$$

แล้ว $A$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]เลือกเอกลักษณ์ที่เหมาะสม[/step]

จากสมบัติ

$$A\log_cB = \log_c \left(B^A\right)$$

ใช้กับที่โจทย์กำหนด

\begin{eqnarray*}
\left( x^2-2x-16 \right) \log_2 \left(2-\sqrt3\right) &<& \log_2 \left(2+\sqrt3\right)\\
\log_2 \left(2-\sqrt3\right)^{x^2-2x-16} &<& \log_2 \left(2+\sqrt3\right)
\end{eqnarray*}

[step]ยกกำลังด้วยฐาน $2$[/step]

นำ $2$ ยกกำลังทั้งสองข้างของอสมการ (ทำได้โดยอสมการไม่เปลี่ยนทิศทางจากการที่ $2>1$)

จะได้

\begin{eqnarray*}
2^{\log_2\left(2-\sqrt3\right)^{x^2-2x-16}} &<& 2^{\log_2\left(2+\sqrt3\right)}\\
\left(2-\sqrt3\right)^{x^2-2x-16} &<& 2+\sqrt3
\end{eqnarray*}

นำสังยุคของ $2+\sqrt3$ ซึ่งก็คือ $2-\sqrt3$ คูณตลอดทั้งเศษและส่วนด้านขวาของอสมการ

\begin{eqnarray*}
\left(2-\sqrt3\right)^{x^2-2x-16} &<& \left(2+\sqrt3\right) \cdot \dfrac{\left(2-\sqrt3\right)}{\left(2-\sqrt3\right)}\\
\left(2-\sqrt3\right)^{x^2-2x-16} &<& \dfrac{1}{\left(2-\sqrt3\right)}
\end{eqnarray*}

คูณ $\left(2-\sqrt3\right)$ ตลอดอสมการ (ทำได้โดยต้องเปลี่ยนทิศของอสมการเพราะ $\left(2-\sqrt3\right)<0$)

จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(2-\sqrt3\right)^{x^2-2x-16}\left(2-\sqrt3\right) &>&1\\
\left(2-\sqrt3\right)^{x^2-2x-15} &>& (2-\sqrt3)^0\\
\end{eqnarray*}

[step]แก้อสมการ[/step]

\begin{eqnarray*}
x^2-2x-15 &>& 0\\
(x+3)(x-5) >0
\end{eqnarray*}

จึงได้ช่วงคำตอบ $A=\left(-\infty,-3\right)\cup \left(5,\infty\right)$

ดังนั้น $A\subseteq \left(-\infty,-3\right) \cup \left(4,\infty \right)$

[ANS]ตัวเลือก A[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการลอการิทึม การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2