จากการสำรวจรักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน  $80$  คน เกี่ยวกับการเป็นสมาชิกของชมรม  $3$  ชมรม  คือ  ชมรมคณิตศาสตร์  ชมรมการแสดง และชมรมกีฬา

ปรากฏว่า มี $30$ คน เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ โดยจำนวนนี้มีนักเรียน  $20$ คน  เท่านั้นที่เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์เพียงชมรมเดียว

มี $5$ คน  ที่เป็นสมาชิกของชมรมการแสดงและชมรมกีฬา  แต่ไม่เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์  และมี $10$ คน ที่ไม่เป็นสมาชิกของชมรมใดเลย

พิจารณาข้อต่อไปนี้  

(ก)  มี $15$ คน  ที่เป็นสมาชิกของชมรมอย่างน้อย  $2$ ชมรม

(ข)  มี $55$ คน   ที่เป็นสมาชิกของชมรมใดชมรมหนึ่ง  $1$ ชมรมเท่านั้น

(ค)  มี $50$  คน  ที่สมาชิกของชมรมการแสดงหรือชมรมกีฬา

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP] แปลความหมายข้อความที่โจทย์กำหนดให้ [/STEP]

จากโจทย์ให้
\begin{eqnarray*}
\mathscr{U} && \text{แทนเซตของนักเรียนทั้งหมด}\\
A && \text{แทนเซตของนักเรียนที่เป็นสมาชิกชมรมคณิตศาสตร์}\\
B && \text{แทนเซตของนักเรียนที่เป็นสมาชิกชมรมการแสดง}\\
C && \text{แทนเซตของนักเรียนที่เป็นสมาชิกชมรมกีฬา}
\end{eqnarray*}

โดยที่โจทย์กำหนด

\begin{eqnarray*}
n(\mathscr{U})&=&80\\
n(A)&=&30\\
n(A-(B\cup C))&=&20\\
n\left((B\cap C)-A \right)&=&5\\
n\left(\mathscr{U}-(A\cup B\cup C) \right)&=&10
\end{eqnarray*}

[STEP] วาดรูปแผนภาพจากข้อมูลที่ได้[/STEP]

เมื่อนำมาวาดแผนภาพประกอบทำให้ได้แผนภาพดังนี้

[STEP] พิจารณาข้อความด้วยรูป [/STEP]

เมื่อแปลความหมายของข้อความ (ก) (ข) และ (ค) จะได้

(ก) $n\left((A\cap C) \cup (B\cap C)\cup (A\cap C) \right)=15$

ซึ่งเห็นได้ชัดจากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ด้านบน ดังนั้น (ก) ถูกต้อง

(ข) $n\left(A-(B\cup C)\right)+n\left(B-(A\cup C)\right)+n\left(C-(A\cup B)\right)=55$

จะเห็นว่าเราสามารถหาจำนวนสมาชิกในชิ้นส่วนที่โจทย์ถามได้จาก

$$\text{ผลรวมสมาชิกข้อ (ข) } = n(A\cup B\cup C) - \text{ จำนวนสมาชิกข้อ (ก)}$$

จาก $n\left(\mathscr{U}-(A\cup B\cup C) \right)=10$

เราจะได้

$$n(A\cup B \cup C) = n(\mathscr{U})-10 = 70$$

ดังนั้น

$$\text{ผลรวมสมาชิกข้อ (ข)} =n(A\cup B\cup C) - \text{ จำนวนสมาชิกข้อ (ก) } = 70-15 = 55$$

ดังนั้น ข้อความ (ข) ถูกต้อง

(ค) $n(B\cup C)=50$ 

สังเกตว่าชิ้นส่วน $B\cup C$ นั้นสามารถคำนวณง่ายๆ ด้วยการนำ $n(A\cup B \cup C)$ ลบออกด้วยชิ้นที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $20$ ซึ่งก็คือ $n(A-(B\cup C))$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
n(B\cup C) &=& n(A\cup B\cup C) - n(A-(B\cup C)) \\
&=& 70 - 20\\
&=& 50
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีค่าเท่ากับ $50$ จริง ดังนั้น ข้อความ (ค) ถูก

[ANS] (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : โจทย์ปัญหาสูตรยูเนียน