กำหนดเอกภพสัมพันธ์ คือ $\left\{ -3,-2,-1,0,1,2,3\right\}$

ให้ $P(x)$ แทน $\left| x \right| \geq x$

และ $Q(x)$ แทน $\left| x \right| < \left| x+1 \right| +1$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ประพจน์ $\displaystyle \exists x [\sim Q(x)] \rightarrow \exists x [\sim P(x)]$ มีค่าความจริงเป็น จริง

(ข) ประพจน์ $\displaystyle \forall  x [ P(x)] \rightarrow \forall x [\sim Q(x)]$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ

(ค) ประพจน์ $\displaystyle \exists x [P(x)] \rightarrow \exists x [Q(x)]$ มีค่าความจริงเป็น จริง

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ย่อย[/step]

เมื่อพิจารณาประพจน์

(1) $\exists x [Q(x)]$ พบว่าเป็นจริง
จาก $x=0,$ $\left| 0 \right| < \left| 0 + 1 \right| + 1$ ดังนั้น $Q(0)$ เป็นจริง จึงทำให้ $\exists x [Q(x)]$ เป็นจริง

(2) $\exists x [\sim Q(x)]$ พบว่าเป็นจริง
จาก $x=-1,$ $\left| -1 \right| \geq \left| -1+1 \right| + 1$ หรือ $1 \geq 1$ ซึ่ง $\sim Q(-1)$ เป็นจริง ดังนั้น $\exists x [\sim Q(x)]$ เป็นจริง

(3) $\forall x [P(x)]$ พบว่าเป็นจริง
จากทุก $x$ ไม่ว่าจะเป็น $-3,-2,-1,0,1,2$ หรือ $3$ จะได้ว่า $\left|x\right| \geq x$ เสมอ ดังนั้น $\forall x [P(x)]$ เป็นจริง

(4) $\exists x[P(x)]$ เป็นจริง
เนื่องจากข้อ (3) $\forall x [P(x)]$ เป็นจริง จึงส่งผลให้ $\exists x[P(x)]$ เป็นจริงไปด้วย

(5) $\forall x [\sim Q(x)]$ เป็นเท็จ
เนื่องจากนิเสธของ $\forall x [\sim Q(x)]$ คือ $\exists x [Q(x)]$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริงในข้อ (1) จึงทำให้  $\forall x [\sim Q(x)]$ เองมีค่าความจริงตรงข้ามกัน คือ เป็นเท็จ

(6) $\exists x [\sim P(x)]$ เป็นเท็จ
เนื่องจากนิเสธของ $\exists x [\sim P(x)]$ คือ $\forall x [P(x)]$ มีค่าความจริงเป็นจริงจากข้อ (3) ทำให้ $\exists x [\sim P(x)]$ มีค่าความจริงตรงข้ามกัน คือ เป็นเท็จ

[step]พิจารณาตัวเลือก[/step]

นำค่าความจริงของประพจน์ย่อยในขั้นตอนที่แล้วมาแทนลงในประพจน์ในข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ดังนี้

(ก) ประพจน์ $\displaystyle \exists x [\sim Q(x)] \rightarrow \exists x [\sim P(x)]$ มีค่าความจริงเป็น จริง

\begin{eqnarray*}
&\equiv& (2) \rightarrow (6)\\
&\equiv& T \rightarrow F\\
&\equiv& F
\end{eqnarray*}

ข้อความ (ก) ผิด

(ข) ประพจน์ $\displaystyle \forall  x [ P(x)] \rightarrow \forall x [\sim Q(x)]$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ

\begin{eqnarray*}
&\equiv& (4) \rightarrow (5)\\
&\equiv& T \rightarrow F\\
&\equiv & F
\end{eqnarray*}

ข้อความ (ข) ถูก

(ค) ประพจน์ $\displaystyle \exists x [P(x)] \rightarrow \exists x [Q(x)]$ มีค่าความจริงเป็น จริง

\begin{eqnarray*}
&\equiv& (3) \rightarrow (1) \\
&\equiv& T \rightarrow T\\
&\equiv & T
\end{eqnarray*}

ข้อความ (ค) ถูก

[ANS]C ข้อ (ข) และข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ