,

จากโจทย์กำหนด เราสามารถสุ่มเลือก $x_i$ ได้อย่างอิสระเพื่อทดสอบความจริงของข้อความ (ก), (ข) และ (ค)

สมมติให้ $x_i = 1$ ทุก $i$ แล้วคำนวณค่าเฉลี่ยเลขดังนี้

$$\begin{eqnarray*} \bar x &=& \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots + x_{10}}{10}\\ &=& \frac{1+1+1+\cdots+1}{10}\\ &=& \frac{10}{10}\\ &=& 1 \end{eqnarray*}$$

จากนั้นนำ $\bar x = 1$ มาคำนวณส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

$$M.D._x = \sum_{i=1}^{10} \left| x_i - \bar x \right| = \sum_{i=1}^{10} \left| 1 - 1 \right| = 0$$

ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ $1$ มีค่าเท่ากับ $0$

คำนวณข้อมูลชุดที่ $2$ โดยแทนค่า $x_i = 1$ ทุก $i$ จะได้

$$y_i = 2x_i + 1 = 2(1)+1 = 3\qquad\text{ทุก }i$$

ดังนั้นจะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

$$\begin{eqnarray*} \bar y &=& \frac{y_1+y_2+y_3 + \cdots + y_{10}}{10}\\ &=& \frac{3+3+3 + \cdots + 3}{10}\\ &=& \frac{30}{10}\\ &=& 3 \end{eqnarray*}$$

นำค่าเฉลี่ยเลขคณิต $\bar y = 3$ มาคำนวณส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

$$M.D._y = \sum_{i=1}^{10} \left| y_i - \bar y \right| = \sum_{i=1}^{10} \left| 3 - 3 \right| = 0$$

จะเห็นว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ $2$ มีค่าเท่ากับ $0$ เหมือนกับของชุดที่ $1$ จึงไม่จำเป็นต้องมีค่ามากกว่ากัน ดังนั้นข้อความ (ก) ผิด

,

จากขั้นตอนที่แล้วเราได้ตัวอย่างข้อมูล $x_i = 1$ ทุก $i$ จะทำให้ได้ $y_i = 3$ ทุก $i$ และเราทราบด้วยว่า $\bar x = 1$ ในขณะที่ $\bar y = 3$ นำข้อมูลเหล่านี้มาคำนวณสัมประสิทธิ์การแปรผัน

$$\text{สปส.การแปรผันของ }x = \dfrac{SD_x}{\bar x} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar x \right)^2}}{\sqrt n \cdot \bar x} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}(1-1)^2}}{\sqrt{10}\cdot1}=0$$

$$\text{สปส.การแปรผันของ }y = \dfrac{SD_x}{\bar y} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(y_i - \bar y \right)^2}}{\sqrt n \cdot \bar y} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}(3-3)^2}}{\sqrt{10}\cdot1}=0$$

ซึ่งจะเห็นว่ามีค่าเท่ากันทั้งคู่ จึงไม่จำเป็นต้องมีค่าน้อยกว่ากัน ดังนั้นข้อความ (ข) ผิด

,

จากข้อมูลชุดเดิม

$$\begin{eqnarray*} x_i &=& 1 \qquad \forall i = 1,2,3,\cdots ,10\\ y_i &=& 3 \qquad  \forall i = 1,2,3,\cdots ,10\\ \end{eqnarray*}$$

ถ้าเพิ่มแต่ละ $x_i$ ขึ้น $1$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} x_i &=& 1+1 = 2 \qquad \forall i = 1,2,3,\cdots ,10\\ y_i &=& 2(2)+1 = 5 \qquad  \forall i = 1,2,3,\cdots ,10\\ \end{eqnarray*}$$

คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ $2$ 

$$\begin{eqnarray*} \bar y &=& \frac{y_1+y_2+y_3+\cdots + y_{10}}{10}\\ &=& \frac{5+5+5+\cdots+5}{10}\\ &=& \frac{50}{10}\\ &=& 5 \end{eqnarray*}$$

นำมาคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$SD_y = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2}{n}}= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10} \left(5-5 \right)}{10}}=0$$

ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่ของข้อมูลชุด $y$ ยังคงเป็น $0$ ซึ่งเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ $y$ จากขั้นตอนที่แล้ว (แม้ไม่ได้คำนวณตรงๆ แต่เห็นได้ชัดว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ $y$ ในขั้นตอนที่แล้วเป็น $0$) แสดงว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ $2$ ไม่จำเป็นต้องมีค่าเพิ่มขึ้น ดังนั้น ข้อความ (ค) ผิด