,

จากโจทย์กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น $\vec a+\vec b +\vec c = \vec 0 \quad \cdots(1)$ 

เราจะหาความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมรูปนี้แล้วนำความยาวด้านไปคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ต่อไป

ด้าน $\vec a$

จากสูตร ความยาวด้าน $\vec a = \sqrt{ \left| \vec a \cdot \vec a \right| }$

จากข้อมูลผลดอท $\vec c \cdot \vec a = -10$ ซึ่งสามารถสลับที่แล้วได้ผลดอทเท่าเดิม คือ $\vec a \cdot \vec c = -10$

นำด้าน $\vec a$ มาดอทตลอดสมการเวกเตอร์ $(1)$ แล้วแทนค่า ผลดอทที่โจทย์กำหนดให้ลงไปจะได้

$$\begin{eqnarray*} \vec a + \vec b + \vec c &=& \vec 0\\ \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c &=& \vec a \cdot \vec 0 \\ \vec a \cdot \vec a + (-15) + (-10) &=& 0 \text{ เนื่องจากดอทกับเวกเตอร์ }\vec 0\text{ ได้ }0\text{ เสมอ}\\ \vec a \cdot \vec a&=& 25 \end{eqnarray*}$$

เราจึงได้

$$\left| \vec a \right| = \sqrt{25} = 5\text{ หน่วย}$$

ด้าน $\vec b$

ดอทตลอดสมการ $(1)$ ด้วย $\vec b$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \vec a + \vec b + \vec c &=& \vec 0\\ \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c &=& \vec b \cdot \vec 0 \\ (-15) + \vec b \cdot \vec b + (-21) &=& 0 \text{ เนื่องจากดอทกับเวกเตอร์ }\vec 0\text{ ได้ }0\text{ เสมอ}\\ \vec b \cdot \vec b&=& 36 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$\left| \vec b \right| = \sqrt{36} = 6\text{ หน่วย}$$

ด้าน $\vec c$

ดอทตลอดสมการ $(1)$ ด้วย $\vec c$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \vec a + \vec b + \vec c &=& \vec 0\\ \vec c \cdot \vec a + \vec c \cdot \vec b + \vec c \cdot \vec c &=& \vec c \cdot \vec 0 \\ (-10)+(-21)+\vec c \cdot \vec c &=& 0 \text{ เนื่องจากดอทกับเวกเตอร์ }\vec 0\text{ ได้ }0\text{ เสมอ}\\ \vec c \cdot \vec c&=& 31 \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น

$$\left| \vec c \right| = \sqrt{31} \text{ หน่วย}$$

,

ส่วนสูง $h$ ของสามเหลี่ยม $ABC$ คำนวณได้จากการแก้สมการปีทาโกรัสจากสามเหลี่ยม $(2)$ และ $(3)$

จะได้ $h = \sqrt{5^2 -x^2}$ และ $h=\sqrt{31-(6-x)^2}$

จึงได้

$$\begin{eqnarray*} \sqrt{5^2-x^2} &=& \sqrt{31-(6-x)^2} \\ 25-x^2 &=& 31-(6-x)^2 \\ 30 &=& 12x\\ x &=& \frac{30}{12} = \frac52 \end{eqnarray*}$$

เราได้

$$h = \sqrt{5^2-x^2 } = \sqrt{25-\frac{25}{4}} = \frac{5\sqrt3}{2}\quad\text{หน่วย}$$

,

$$\begin{eqnarray*} \text{พื้นที่ }\triangle ABC &=& \frac12 \times \left|\vec b\right| \times \frac{5\sqrt3}{2} \\ &=& \frac12 \times 6 \times \frac{5\sqrt3}{2}\\ &=& \frac{15\sqrt3}{2}\quad\text{ตารางหน่วย} \end{eqnarray*}$$