ให้  $x>0$ และให้ $S$ แทนอนุกรม $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n+1}$ $(\log x)^{n}$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้า $x<10$ แล้วอนุกรม $S$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

(ข) ถ้า $x=100$ แล้วอนุกรม $S$ เป็นอนุกรมลู่ออก

(ค) ถ้า $x=\frac{1}{10}$ แล้วผลบวก $100$ พจน์แรกของอนุกรม $S$ เท่ากับ $-100$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[step]หาอัตราส่วนร่วม $r$ ของอนุกรม[/step]

สังเกตว่าอนุกรมหลักที๋โจทย์กำหนดให้มา เมื่อแทนค่า $x$ แล้ว จะอยู่ในรูปอนุกรมเรขาคณิต เราจึงควรคำนวณหาค่าอัตราส่วนร่วม $r$ ของอนุกรมนี้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
r &=& \frac{a_{n+1}}{a_n} \\
&=& \frac{(-1)^{n+2} \left( \log x \right) ^{n+1}}{(-1)^{n+1}\left(\log x \right)^n}\\
&=& \frac{(-1)\left(\log x \right)}{1}\\
&=& -\log x
\end{eqnarray*}

ดังนั้นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมนี้ คือ $-\log x$

[step]พิจารณาข้อความ (ก)[/step]

(ก) ถ้า $x<10$ แล้วอนุกรม $S$ เป็นอนุกรมลู่เข้า

สุ่มเลือก $x<10$ มาทดลองคำนวณว่าอนุกรม $S$ จะลู่เข้าหรือไม่

เพื่อให้คำนวณง่ายเลือก $x=\frac{1}{100}$ จะได้

$$r=-\log \left( \frac{1}{100} \right) =  - \left( -2 \right) = 2$$

ซึ่งจะได้ว่า $\left| r \right| = 2 > 1$ จึงทำให้ $S$ เป็นอนุกรมลู่ออก ดังนั้นข้อความ (ก) ไม่เป็นจริงเสมอไป เราจึงสรุปได้ว่า ข้อความ (ก) ผิด

[step]พิจารณาข้อความ (ข)[/step]

(ข) ถ้า $x=100$ แล้วอนุกรม $S$ เป็นอนุกรมลู่ออก

แทนค่า $x=100$ เพื่อคำนวณ $r$

$$r= -\log \left( 100 \right) = -2$$

ซึ่งจะได้ $\left | r \right|  = \left| (-2) \right| = 2 >1$ จึงทำให้ $S$ เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่ลู่ออก ดังนั้นข้อความ (ข) กล่าวถูกต้อง แล้ว

[step]พิจารณาข้อความ (ค)[/step]

(ค) ถ้า $x=\frac{1}{10}$ แล้วผลบวก $100$ พจน์แรกของอนุกรม $S$ เท่ากับ $-100$

แทนค่า $x=\frac{1}{10}$ ลงใน $r$ จะได้

$$r = -\log \left( \frac{1}{10} \right) = - (-1) = 1$$

แทนค่า $x=\frac{1}{10}$ ลงใน $S$ จะได้

\begin{eqnarray*}
S &=& \sum_{n=1}^\infty \left( -1 \right)^{n+1} \left( \log \left( \frac{1}{10} \right) \right)^n\\
&=& \sum_{n=1}^\infty \left(-1) \right)^{n+1} \left(-1\right)^n\\
&=& \sum_{n=1}^\infty \left(-1 \right)^{2n+1}
\end{eqnarray*}

แต่เนื่องจากเราทราบว่า $n$ คือ จำนวนเต็ม ไม่ว่าจะแทนค่า $n$ ด้วยจำนวนเต็มใดก็ตาม เราจะได้ $2n+1$ เป็นจำนวนคี่เสมอ ซึ่งจะทำให้ $a_n = -1$ เสมอนั่นเอง

จากนั้นคำนวณผลบวก $100$ พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต $S$ 

\begin{eqnarray*}
S_{100} &=& a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{100}\\
&=& (-1)+(-1) + (-1) + (-1) + \cdots +(-1)\\
&=& -100
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อความ (ค) ถูก

[ANS]C ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลำดับและอนุกรมเรขาคณิต เทคนิคการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ในรูป เลขคณิต/เรขาคณิต