ให้ $A,B$ และ $C$ เป็นเซตใด ๆ 

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้า $A-B = \emptyset $ แล้ว $A=B$

(ข) ถ้า $C-\big{(}A \cap B\big{)} = C-B$ แล้ว $A \subset B$

(ค) $A\cap B\cap C=\displaystyle{[(A\cup B)\cap C]\cap[(A\cap B)\cup C]}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อความ (ก)[/STEP]

(ก)  ถ้า $A-B=\emptyset$ แล้ว $A=B$

เราสามารถยกตัวอย่างค้านได้มากมาย เช่น $A=\{1\}$, $B=\{1,2\}$ ซึ่งจะได้ $A-B = \emptyset$ แต่ $A$ กับ $B$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน ดังนั้น (ก) ผิด

[STEP]พิจารณาข้อความ (ข)[/STEP]

(ข) ถ้า $C-( A\cap B)=C-B$ แล้ว $A\subset B$

เราพิจารณาโดยยกตัวอย่างค้านในแบบที่ $A,B,C$ ไม่มีส่วนซ้อนทับกัน เช่น $A=\{1\}$, $B=\{2\}$ และ $C=\{3\}$

เราพบว่า

\begin{eqnarray}
A\cap B&=& \emptyset\\
C-(A\cap B)&=&C\\
C-B&=&C\\
\end{eqnarray}

ซึ่งจะเห็นว่า $C-(A\cap B)= C-B$ แต่ $A\not\subset B$ เราจึงสรุปได้ว่า (ข) ผิด

[STEP]พิจารณาข้อความ (ค)[/STEP]

(ค) $A\cap B\cap C = \big[ (A\cup B)\cap C\big]\cap\big[ (A\cap B)\cup C\big]$

จัดรูปด้านขวาของสมการ โดยกระจายพจน์ด้านขวาเข้าไปในวงเล็บด้านซ้าย จะได้

$\big[ (A\cup B)\cap C\big]\cap\big[ (A\cap B)\cup C\big]$

\begin{eqnarray*}
&=& \left[ \left[ (A\cup B) \cap C \right] \cap (A \cap B) \right] \cup \left[ \left[ (A\cup B) \cap C \right] \cap C \right]\\
&=& \left[ \left[ (A\cup B) \cap (A\cap B) \right] \cap C \right] \cup \left[ (A\cup B) \cap C \right] \\
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าในวงเล็บทางซ้ายมี $(A\cup B) \cap (A\cap B)$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเมื่ออินเตอร์เซกกันแล้วจะได้เซตที่เล็กกว่า คือ $(A\cap B)$ เราจึงได้

\begin{eqnarray*}
&=& \left[(A\cap B) \cap C \right] \cup \left[ (A\cup B) \cap C \right] \\
&=& \left[(A\cap B) \cup (A\cup B) \right] \cap C\\
&=& \left[ (A\cup B) \right] \cap C\qquad \text{ เพราะ }(A\cap B)\cup (A\cup B) = (A\cup B)
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราได้ $\left( (A\cup B) \cap C \right) \cap \left( (A\cap B) \cup C \right) = (A\cup B) \cap C$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่จำเป็นต้องเท่ากับ $A\cap B \cap C$ ตามข้อความ (ค) ดังนั้น (ค) ผิด

[ANS]E ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การดำเนินการเซต สมบัติการดำเนินการเซตและการจัดรูป