ให้ $c$  เป็นจำนวนจริง และให้ $f(x)  =  -x^3  -  12x^2  -  45x  +  c$  สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

จะได้      $f'(x)  =  -3x^2  -  24x  -  45$

สมมติให้  $f'(x)  =  0$  จะได้   $-3x^2  -  24x  -  45  =  0$

                                            $-3(x^2  +  8x  +  15)  =  0$

                                             $-3(x  +  3)(x  +  5)  =  0$

                                                                           $x  =  -3,  -5$

นั่นคือ  ค่าวิกฤติเท่ากับ  $-3,  -5$

จาก   $f''(x)  =  -6x  -  24$

และ   $f''(-3)  =  -6(-3)  -  24$

                       $=  18  -  24$

                       $=  -6  <  0$ 

แสดงว่า  $f(-3)$  เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์

และ   $f''(-5)  =  -6(-5)  -  24$

                       $=  30  -  24$

                       $=  6  >  0$ 

แสดงว่า  $f(-5)$  เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

จากโจทย์กำหนดให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ $f$  เท่ากับ  $53$

จะได้ว่า  $f(-3)  =  53$  นั่นคือ  $-(-3)^3  -  12(-3)^2  -  45(-3)  +  c  =  53$

                                                                        $27  -  108  +  135  +  c  =  53$

                                                                                               $54  +  c  =  53$

                                                                                                         $c  =  -1$

ดังนั้น     $f(x)  =  -x^3  -  12x^2  -  45x  -  1$

จะได้   $f(-1)  =  -(-1)^3  -  12(-1)^2  -  45(-1)  -  1$

                       $=  1  -  12  +  45  -  1$

                       $=  33$

ดังนั้น ค่าของ  $f(c)$  เท่ากับ  $33$