กำหนดให้ $z  =  x  +  yi$  เมื่อ $x,  y  \in  \mathbb{R}$

จะได้  $z  -  (1  +  i)  =  (x  +  yi)  -  (1  +  i)$

                              $=  x  +  yi  -  1  -  i$

                              $=  (x  -  1)  +  (y  -  1)i$

เนื่องจาก $z  -  (1  +  i)$  เป็นจำนวนจินตภาพแท้

นั่นคือ                    $x  -  1  =  0$

                                    $x  =  1$

และ $z^2  -  2(1  +  i)^2$    $=  (x  +  yi)^2  -  2(1  +  i)^2$

                                     $=  (x^2  +  2xyi  +  y^2(i^2))  -  2(1  +  2i  +  i^2)$

                                     $=  (x^2  +  2xyi  +  y^2(-1))  -  2(1  +  2i  -  1)$

                                     $=  (x^2  +  2xyi  -  y^2)  -  2(2i)$   

                                     $=  x^2  +  2xyi  -  y^2  -  4i$

                                     $=  (x^2   -  y^2)  +  (2xy  -  4)i$

เนื่องจาก $z^2  -  2(1  +  i)^2$ เป็นจำนวนจริง

นั่นคือ             $2xy  -  4  =  0$

แทน $x = 1$ ; $2(1)y  -  4  =  0$

                          $2y  -  4  =  0$

                                 $2y  =  4$

                                   $y  =  2$

จะได้ $z = 1  +  2i$  และ  $\bar z  =  1  -  2i$

นั่นคือ $z  \cdot \bar z  =  (1  +  2i)(1  -  2i)$

                   $=  1^2  -  (2i)^2$

                   $=  1  -  (-4)$

                   $=  5$

ดังนั้น $z  \cdot \bar z$  มีค่าเท่ากับ $5$