กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $3\times 3$ โดยที่ $\det A=\frac{1}{4}$ และ

$B=\begin{bmatrix}\frac{3}{2}&1&-1\\0&2&0\\a&0&b\end{bmatrix}$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $2AB+3I=A$ เมื่อ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณมิติ $3\times 3$ แล้วค่าของ $a+b$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

อ่านเฉลยละเอียด
เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการให้เกิด $A$ ตัวเดี่ยวๆ[/STEP]

โจทย์ข้อนี้กำหนดค่าของ $\det A = \frac14$ มาให้พร้อมกับสมการ $2AB+3I=A$ เราจึงควรจัดรูปสมการเมทริกซ์นี้เพื่อรวมเมทริกซ์ $A$ ให้เหลือตัวเดียว

\begin{eqnarray*}
2AB+3I &=& A\\
2AB-A &=& -3I\\
A(2B-I) &=& -3I
\end{eqnarray*}

คำนวณ $2B-I$ ใส่ลงไปในสมการ

\begin{eqnarray*}
A\left( 2\begin{bmatrix} \frac{3}{2}&1&-1\\0&2&0\\a&0&b\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix} \right) &=& -3I\\
A\left( \begin{bmatrix} 3 &2&-2\\ 0&4&0\\ 2a&0&2b\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix} \right) &=& -3I\\
A\left( \begin{bmatrix} 2 & 2 &-2\\ 0 & 3 &0\\ 2a &0 & 2b-1\end{bmatrix} \right) &=& -3I\\
A\begin{bmatrix} 2 & 2 &-2\\ 0 & 3 &0\\ 2a &0 & 2b-1\end{bmatrix} &=& -3I
\end{eqnarray*}

[step]take $\det A$ ทั้งสองข้างของสมการ[/step]

\begin{eqnarray*}
\det A \det\begin{bmatrix} 2 & 2 &-2\\ 0 & 3 &0\\ 2a &0 & 2b-1\end{bmatrix} &=& \det\left(-3I\right)\\
\left( \frac14 \right) \left( -(2a)(3)(-2) + (2)(3)(2b-1) \right) &=& (-3)^3 \det I\\
\left( 12a+12b-6 \right)&=& -27\cdot (1) \cdot 4\\
12a+12b &=&  -108 +6\\
12(a+b) &=& -102\\
a+b &=& \frac{-102}{12}\\
a+b &=& -\frac{17}{2}
\end{eqnarray*}

[ANS]$-\frac{17}{2}$[/ANS]

ขั้นตอนการดึงเมทริกซ์ $A$ ที่เป็นตัวร่วมออก อย่าเผลอดึงแล้วเหลือเป็น $2B-1$ เด็ดขาด เพราะว่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ $I$