,

โจทย์ข้อนี้กำหนดค่าของ $\det A = \frac14$ มาให้พร้อมกับสมการ $2AB+3I=A$ เราจึงควรจัดรูปสมการเมทริกซ์นี้เพื่อรวมเมทริกซ์ $A$ ให้เหลือตัวเดียว

$$\begin{eqnarray*} 2AB+3I &=& A\\ 2AB-A &=& -3I\\ A(2B-I) &=& -3I \end{eqnarray*}$$

คำนวณ $2B-I$ ใส่ลงไปในสมการ

$$\begin{eqnarray*} A\left( 2\begin{bmatrix} \frac{3}{2}&1&-1\\0&2&0\\a&0&b\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix} \right) &=& -3I\\ A\left( \begin{bmatrix} 3 &2&-2\\ 0&4&0\\ 2a&0&2b\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{bmatrix} \right) &=& -3I\\ A\left( \begin{bmatrix} 2 & 2 &-2\\ 0 & 3 &0\\ 2a &0 & 2b-1\end{bmatrix} \right) &=& -3I\\ A\begin{bmatrix} 2 & 2 &-2\\ 0 & 3 &0\\ 2a &0 & 2b-1\end{bmatrix} &=& -3I \end{eqnarray*}$$

,

$$\begin{eqnarray*} \det A \det\begin{bmatrix} 2 & 2 &-2\\ 0 & 3 &0\\ 2a &0 & 2b-1\end{bmatrix} &=& \det\left(-3I\right)\\ \left( \frac14 \right) \left( -(2a)(3)(-2) + (2)(3)(2b-1) \right) &=& (-3)^3 \det I\\ \left( 12a+12b-6 \right)&=& -27\cdot (1) \cdot 4\\ 12a+12b &=&  -108 +6\\ 12(a+b) &=& -102\\ a+b &=& \frac{-102}{12}\\ a+b &=& -\frac{17}{2} \end{eqnarray*}$$