กำหนดให้ $A=\begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix}$ และ $B=\begin{bmatrix}-3&1\\a&b\end{bmatrix}$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $(A-B)B=B(A-B)$ แล้วค่าของ $\det(A+B)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[step]จัดรูป $(A-B)B=B(A-B)$[/step]

กระจายเมทริกซ์ $B$ เข้าไปในวงเล็บ แต่ต้องระวังอย่าไปสลับข้างของเมทริกซ์นะ เพราะว่าเมทริกซ์ไม่มีสมบัติสลับที่การคูณ

\begin{eqnarray*}
(A-B)B &=& B(A-B) \\
AB-BB &=& BA-BB\\
AB\cancel{-BB} &=& BA \cancel{-BB}\\
AB &=& BA
\end{eqnarray*}

ดังนั้นเราจึงได้สมการที่ง่ายขึ้นเป็น $AB=BA$ ซึ่งจะนำไปใช้ในการหาค่า $a,b$ ต่อไป

[step]ใช้ $AB=BA$ หาค่า $a,b$[/step]

จากเมทริกซ์  $B=\begin{bmatrix}-3&1\\a&b\end{bmatrix}$ ซึ่งติด $2$ ตัวแปร คือ $a$ กับ $b$ ดังนั้นเราจึงต้องใช้สมการจำนวนจริง $2$ สมการจากการคูณเมทริกซ์ $AB=BA$ และถ้าลงดูผลคูณ $BA$ ก่อน

\begin{eqnarray*}
AB &=& \begin{bmatrix} -3&1\\ a&b\end{bmatrix} \cdot   \begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix}\\
&=& \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ ? &? \end{bmatrix}\\
\end{eqnarray*}

จะพบว่า $2$ ตำแหน่งแรกของผลคูณเป็นตัวเลขทั้งคู่ เราจึงคำนวณผลคูณของ $AB$ แค่ $2$ ตำแหน่งเดียวกัน ดังนี้

\begin{eqnarray*}
BA &=&  \begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -3&1\\ a&b\end{bmatrix} \\
&=& \begin{bmatrix}-3+2a & 1+2b \\ ?&? \end{bmatrix} 
\end{eqnarray*}

ดังนั้น 

\begin{eqnarray*}
AB &=& BA\\
\begin{bmatrix} -4 & -3 \\ ? &? \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}-3+2a & 1+2b \\ ?&? \end{bmatrix} 
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้สมการจำนวนจริง $2$ สมการ คือ 

\begin{eqnarray*}
-4 &=& -3+2a \qquad \cdots (1)\\
-3 &=& 1+2b \qquad \cdots (2) 
\end{eqnarray*}

แก้สมการหาค่า $a$ กับ $b$ จะได้

\begin{eqnarray*}
-4 &=& -3 +2a\\
-4+3 &=& 2a\\
-1 &=& 2a\\
-\frac{1}{2} &=& a
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $a=-\frac12$

\begin{eqnarray*}
-3 &=& 1+2b \\
-3-1 &=& 2b\\
-4 &=& 2b\\
\frac{-4}{2} &=& b\\
-2 &=& b
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $b=-2$

[step]คำนวณ $\det(A+B)$[/step]

จาก $a=-\frac12, b= -2$ แทนค่าลงในเมทริกซ์ $B$ จะได้

$$B= \begin{bmatrix}-3&1\\a&b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3&1\\ -frac12 & -2\end{bmatrix}$$

จากนั้นคำนวณผลบวกเมทริกซ์ $A+B$

\begin{eqnarray*}
A+B &=& \begin{bmatrix}1&2\\-1&3\end{bmatrix} +  \begin{bmatrix}-3&1\\ -frac12 & -2\end{bmatrix}\\
&=& \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ -\frac32 & 1\end{bmatrix} 
\end{eqnarray*}

นำเมทริกซ์ $A+B$ มาคำนวณ $\det$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\det(A+B) &=& \left| \begin{matrix} -2 & 3 \\ -\frac32 & 1 \end{matrix} \right| \\
 &=& -\left( -\frac32 \right)(3) + (-2) (1) \\
&=& \frac92 -2\\
&=& \frac92 - \frac42\\
&=& \frac52
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\det(A+B) = \frac52$

[ANS]$\frac52$[/ANS]