ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ความสัมพันธ์ในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นฟังก์ชัน

เฉลยละเอียด

[STEP]วิธีการพิจารณาความสัมพันธ์ว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่[/STEP]

การพิจารณาความสัมพันธ์ว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ มักใช้กันอยู่ $2$ วิธี คือ

1. ใช้นิยาม

นิยามของฟังก์ชันคือ ความสัมพันธ์ $r$ จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า $(x, y_1) \in r$ และ $(x, y_2) \in r$ แล้ว $y_1 = y_2$

หรือเรียกง่ายๆ ว่า คู่อันดับสองคู่อันดับใดๆ ในความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน ห้ามมี หน้าซ้ำหลังต่าง เช่น ถ้ามีคู่อันดับ $(1, 2)$ และ $(1, 3)$ อยู่ด้วยกัน ก็จะไม่เป็นฟังก์ชัน

2. ใช้กราฟ

ถ้าเราวาดกราฟของความสัมพันธ์ แล้วลากเส้นตรงขนานกับแกน $Y$ ตัดกราฟของความสัมพันธ์แล้ว ไม่ว่าลากเส้นตรงใดก็จะตัดกราฟของความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันไม่เกิน $1$ จุด เท่านั้น

ถ้าตัดเกิน $1$ จุด ความสัมพันธ์ก็จะไม่เป็นฟังก์ชัน

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์ $r_1$[/STEP]

พิจารณาโดเมนของ $r_1$

\begin{eqnarray*}
xy &=& 1\\
y &=& \frac{1}{x}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $x$ ไม่สามารถเป็น $0$ ได้ ดังนั้น $D_{r_1} = R - \{ 0 \}$

สมมุติให้ $(x, y_1) , (x, y_2) \in r_1$

จะได้ว่า $x y_1 = 1$ และ $x y_2 = 1$

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
x y_1 &=& x y_2\\
x y_1 - x y_2 &=& 0\\
x(y_1 - y_2) &=& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x = 0$ หรือ $y_1 - y_2 = 0$

แต่เนื่องจาก $0 \notin D_{r_1}$ นั่นคือ $x \neq 0$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
y_1 - y_2 &=& 0\\
y_1 &=& y_2
\end{eqnarray*}

สรุปได้ว่า $x$ หนึ่งค่า สามารถหา $y$ ได้เพียงหนึ่งค่า ดังนั้น $r_1$ จึงเป็นฟังก์ชัน

หรือถ้าเราวาดกราฟ $xy = -1$ จะเป็นไฮเพอร์โบลามุมฉาก ดังนี้

ซึ่งเมื่อลากเส้นตรงขนานกับแกน $Y$ ไม่ว่าเส้นใดก็ตาม จะตัดกราฟไม่เกินจุดเดียวเสมอ

ความสัมพันธ์ $r_1$ จึงเป็นฟังก์ชัน

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์ $r_2$[/STEP]

$y = \tan x$ เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นฟังก์ชันอยู่แล้ว เราสามารถสรุปเลยก็ได้ว่า $r_2$ เป็นฟังก์ชัน

หรือสามารถพิจารณาง่ายๆ ว่า $x$ มุมเดียว ย่อมให้ค่า $tan x$ ได้เพียงค่าเดียวเสมอ $r_2$ จึงเป็นฟังก์ชัน

หรือถ้าใครจำได้ กราฟของฟังก์ชัน $\tan$ จะมีลักษณะเป็นแบบนี้

ซึ่งเมื่อลากเส้นตรงขนานกับแกน $Y$ ไม่ว่าเส้นใดก็ตาม จะตัดกราฟไม่เกินจุดเดียวเสมอ

ดังนั้น $r_2$ จึงเป็นฟังก์ชัน

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์ $r_3$[/STEP]

$\displaystyle r_3 = \left \{ (x, y) \in R \times R \mid x^2 = \sqrt{y^2+1} \right \}$

ถ้าเจอกำลังสองแบบนี้ ให้ลองแทนค่า $x$ ได้เลย เช่นลองแทน $x=2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& \sqrt{y^2+1}\\
4 &=& \sqrt{y^2 + 1}
\end{eqnarray*}

ซึ่งเราได้ว่า

\begin{eqnarray*}
y^2 + 1 &=& 16\\
y^2 &=& 15\\
y &=& \sqrt{15}, -\sqrt{15}
\end{eqnarray*}

หมายความว่า $(2, \sqrt{15}), (2, -\sqrt{15}) \in r_3$ มีคู่อันดับที่หน้าซ้ำหลังต่าง

ดังนั้น $r_3$ จึงไม่เป็นฟังก์ชัน

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์ $r_4$[/STEP]

สมมุติให้ $(x, y_1) , (x, y_2) \in r_4$

จะได้ว่า $y_1 = |2-x|$ และ $y_2 = |2-x|$

แสดงว่า $y_1 = y_2$

สรุปได้ว่า $x$ หนึ่งค่า สามารถหา $y$ ได้เพียงหนึ่งค่า ดังนั้น $r_4$ จึงเป็นฟังก์ชัน

หรือถ้าเราวาดกราฟ จะเห็นว่ากราฟของค่าสัมบูรณ์นั้นเป็นรูปตัววี $V$

\begin{eqnarray*}
y &=& |2-x|\\
y &=& |x-2|
\end{eqnarray*}

นั่นคือกราฟรูปตัววี มีจุดยอดคือ $(2,0)$ ดังรูป

ซึ่งไม่ว่าจะลากเส้นขนานกับแกน $Y$ ตรงไหนก็ตัดเพียงจุดเดียวเท่านั้น

ดังนั้น $r_4$ จึงเป็นฟังก์ชัน

[STEP]พิจารณาความสัมพันธ์ $r_5$[/STEP]

$\displaystyle r_5 = \left \{ (x, y) \in R \times R \mid x^2 = \frac{y}{y+1} \right \}$

สมมุติให้ $(x, y_1) , (x, y_2) \in r_5$

จะได้ว่า $\displaystyle x^2 = \frac{y_1}{y_1 + 1}$ และ $\displaystyle x^2 = \frac{y_2}{y_2 + 1}$

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
\frac{y_1}{y_1 + 1} &=& \frac{y_2}{y_2 + 1}\\
y_1 (y_2 + 1) &=& y_2 (y_1 + 1)\\
y_1 y_2 + y_1 &=& y_1 y_2 + y_2\\
\cancel{y_1 y_2} + y_1 &=& \cancel{y_1 y_2} + y_2
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $y_1 = y_2$

สรุปได้ว่า $x$ หนึ่งค่า สามารถหา $y$ ได้เพียงหนึ่งค่า

ดังนั้น $r_5$ จึงเป็นฟังก์ชัน

[ANS]ความสัมพันธ์ $r_3$[/ANS]

ความสัมพันธ์ที่น่าสงสัยว่าจะไม่เป็นฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ที่มีกำลังสองที่ $y$ หรือมี $y$ อยู่ในค่าสัมบูรณ์ ถ้าเจอ ให้ลองแทนค่า $x$ ได้เลย

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชัน ความสัมพันธ์