กำหนด $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า $2$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ

\begin{eqnarray*}
\log_a (b-2) &=& \log_{\sqrt{a}} \sqrt{3} + \log_{a^2} (b+2)\\
\left( \log_b ^2 a \right) \left( \log_a b \right) &=& 1 + \log_{\sqrt{a}} b
\end{eqnarray*}

แล้ว ค่าของ $a+b$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]แก้สมการแรก[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\log_a (b-2) &=& \log_{\sqrt{a}} \sqrt{3} + \log_{a^2} (b+2)\\
\log_a (b-2) - \log_{a^2} (b+2) &=& \log_{a^\frac{1}{2}} 3^\frac{1}{2}\\
\log_a (b-2) - \frac{1}{2}\log_{a} (b+2) &=& \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\log_a 3\\
\log_a (b-2) - \log_{a} (b+2)^\frac{1}{2} &=& \log_a 3
\end{eqnarray*}

รวบ $\log$ ด้านซ้ายมือให้เป็นตัวเดียวกัน

\begin{eqnarray*}
\log_a \left( \frac{b-2}{(b+2)^\frac{1}{2}} \right) &=& \log_a 3\\
\log_a \left( \frac{b-2}{\sqrt{b+2}} \right) &=& \log_a 3
\end{eqnarray*}

เนื่องจากทั้งสองข้างเป็น $\log_a$ เหมือนกัน จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\frac{b-2}{\sqrt{b+2}} &=& 3\\
b-2 &=& 3 \sqrt{b+2}
\end{eqnarray*}

แก้สมการโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
(b-2)^2 &=& (3 \sqrt{b+2})^2\\
b^2 - 4b + 4 &=& 9(b+2)\\
b^2 - 4b + 4 &=& 9b + 18\\
b^2 - 13b - 14 &=& 0
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบ

\begin{eqnarray*}
(b + 1)(b - 14) &=& 0\\
b &=& -1, 14
\end{eqnarray*}

แต่ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น $b = 14$

[STEP]แก้สมการที่สอง[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left( \log_b ^2 a \right) \left( \log_a b \right) &=& 1 + \log_{\sqrt{a}} b\\
\left( \log_b a \right) \left( \log_b a \right) \left( \log_a b \right) &=& 1 + \log_{a^\frac{1}{2}} b\\
\left( \log_b a \right) \cancel{\left( \log_b a \right)} \cancel{\left( \log_a b \right)} &=& 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_{a} b\\
\log_b a &=& 1 + 2 \log_{a} b
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยให้ $\displaystyle A = \log_b a$ จะได้ว่า $\displaystyle \frac{1}{A} = \log_a b$

\begin{eqnarray*}
\log_b a &=& 1 + 2 \log_{a} b\\
A &=& 1 + \frac{2}{A}
\end{eqnarray*}

คูณ $A$ ตลอดทั้งสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
A^2 &=& A + 2\\
A^2 - A - 2 &=& 0\\
(A+1)(A-2) &=& 0\\
A &=& -1, 2
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $\log_b a = -1, 2$

ถ้า $\displaystyle \log_b a = -1$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\log_{14} a &=& -1\\
a &=& 14^{-1}\\
a &=& \frac{1}{14}
\end{eqnarray*}

แต่ $a > 2$ กรณีนี้จึงใช้ไม่ได้

ดังนั้น $\displaystyle \log_b a = 2$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\log_{14} a &=& 2\\
a &=& 14^{2}\\
a &=& 196
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $a+b$[/STEP]

จาก $a = 196$ และ $b = 14$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a + b &=& 196 + 14\\
&=& 210
\end{eqnarray*}

[ANS]$210$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลอการิทึม-สมบัติลอการิทึมและการจัดรูป การแก้สมการลอการิทึม