ให้ $\displaystyle A = \arcsin \left( \cos \frac{\pi}{3} \right)$ และ $\displaystyle 0 < B < \frac{\pi}{2}$

แล้ว $\displaystyle \sin^2 B + \sin^2 (A + B) + \sin^2 (5A + B)$ ตรงกับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่า $A$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
A &=& \arcsin \left( \cos \frac{\pi}{3} \right)\\
&=& \arcsin \left( \frac{1}{2} \right)\\
&=& \frac{\pi}{6}
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาการหาคำตอบ[/STEP]

สังเกต $\sin(A+B)$ และ $\sin(5A+B)$ จะเห็นว่า ถ้านำมุมทั้งสองมาบวกกัน นั่นคือ $A+B+5A+B = 6A + 2B$

และ $\displaystyle 6A = 6 \left( \frac{\pi}{6} \right) = \pi$ ซึ่งเราสามารถยุบมุม $\pi + 2B$ ได้

ดังนั้น เราจึงต้องหาวิธีการนำมุมทั้งสองมาบวกกันให้ได้

แต่จากสูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

\begin{eqnarray*}
\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)\\
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)\\
\end{eqnarray*}

จะใช้สูตรได้เมื่อฟังก์ชันตรีโกณไม่มีกำลัง $2$ เราจึงต้องหาวิธีจัดรูปไม่ให้มีกำลัง $2$

[STEP]จัดรูป $\sin^2$ ให้ไม่มีกำลังสอง[/STEP]

จากเอกลักษณ์

\begin{eqnarray*}
\cos 2\theta &=& 1 - 2 \sin^2 \theta\\
2 \sin^2 \theta &=& 1 - \cos 2\theta\\
\sin^2 \theta &=& \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\sin^2 B &=& \frac{1 - \cos 2B}{2}\\
\sin^2 (A+B) &=& \frac{1 - \cos 2(A+B)}{2}\\
\sin^2 (5A+B) &=& \frac{1 - \cos 2(5A+B)}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปสองพจน์หลัง $\displaystyle \sin^2 (A + B) + \sin^2 (5A + B)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sin^2 (A + B) + \sin^2 (5A + B) &=& \frac{1 - \cos 2(A+B)}{2} + \frac{1 - \cos 2(5A+B)}{2}\\
&=& \frac{1}{2} - \frac{1}{2}[\cos 2(A+B)] + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}[\cos 2(5A+B)]\\
&=& 1 - \frac{1}{2} [\cos 2(A+B) + \cos 2(5A+B)]
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $\displaystyle \cos 2(A+B) + \cos 2(5A+B)$ สามารถเข้าสูตรเอกลักษณ์ $\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right)$ ได้ เมื่อ $\displaystyle \alpha = 2(A+B)$ และ $\displaystyle \beta = 2(5A+B)$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\cos 2(A+B) + \cos 2(5A+B) &=& 2 \cos \left( \frac{2(A+B)+2(5A+B)}{2} \right) \cos \left( \frac{2(A+B)-2(5A+B)}{2} \right)\\
&=& 2 \cos \left( \frac{\cancel{2}(A+B)+\cancel{2}(5A+B)}{\cancel{2}} \right) \cos \left( \frac{\cancel{2}(A+B)-\cancel{2}(5A+B)}{\cancel{2}} \right)\\
&=& 2 \cos [(A+B)+(5A+B)] \cos [(A+B)-(5A+B)]\\
&=& 2 \cos (6A + 2B) \cos (-4A)
\end{eqnarray*}

แทนค่ากลับจะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\sin^2 (A + B) + \sin^2 (5A + B) &=& 1 - \frac{1}{2} [2 \cos (6A + 2B) \cos (-4A)]
\end{eqnarray*}

ยุบมุม $6A + 2B$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\cos (6A + 2B) &=& \cos (\pi + 2B)\\
&=& - \cos 2B
\end{eqnarray*}

และ $\displaystyle \cos (-4A) = \cos (4A) = \cos \frac{4\pi}{6} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
\sin^2 (A + B) + \sin^2 (5A + B) &=& 1 - \frac{1}{2} \left[2 (-\cos 2B)  \left( -\frac{1}{2} \right)\right]\\
&=& 1 - \frac{1}{2} (\cos 2B)
\end{eqnarray*}

[STEP]นำไปรวมกับอีกพจน์ที่เหลือ นั่นคือ $\sin^2 B$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sin^2 B + \sin^2 (A + B) + \sin^2 (5A + B) &=& \frac{1 - \cos 2B}{2} + 1 - \frac{1}{2} (\cos 2B)\\
&=& \frac{1}{2} -\frac{1}{2} (\cos 2B)  + 1 - \frac{1}{2} (\cos 2B)\\
&=& \frac{3}{2} - \cos 2B
\end{eqnarray*}

[ANS]$\displaystyle \frac{3}{2} - \cos 2B$[/ANS]

ข้อนี้ถ้าเราใช้สูตร $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ จะเสียเวลาในการจัดรูปเยอะมาก

ความรู้ที่ใช้ : อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรผลรวมและผลต่างมุม