,

เนื่องจากข้อนี้ สิ่งที่ต้องการหาอยู่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณ คู่กับอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณ เราสามารถหาค่าได้ในกรณีที่ฟังก์ชันตรีโกณนั้นคู่กับอินเวอร์สของตัวมันเอง เช่น

$\displaystyle \sin (\arcsin x) = x$

ดังนั้น ในข้อนี้เราจะใช้วิธีการเปลี่ยน $\operatorname{arc}$ ให้ตรงกับตัวฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด

,

เนื่องจาก $\displaystyle \tan \theta = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ชิด}}$ ดังนั้น $\displaystyle \arctan 2$ สามารถวาดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

ใช้พีทาโกรัสหาอีกด้าน จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 1^2 + 2^2\\ &=& 1 + 4\\ &=& 5\\ x &=& \sqrt{5} \end{eqnarray*}$$

$\displaystyle \sec \theta = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ชิด}}$ เราจึงสามารถเปลี่ยน $\displaystyle \arctan 2$ ให้อยู่ในรูป $\displaystyle \operatorname{arcsec} \sqrt{5}$ ได้ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \sec^2 (\arctan 2) &=& \sec^2 (\operatorname{arcsec} \sqrt{5})\\ &=& {\sqrt{5}}^2\\ &=& 5 \end{eqnarray*}$$

,

เนื่องจาก $\displaystyle \cot \theta = \frac{\text{ชิด}}{\text{ข้าม}}$ ดังนั้น $\displaystyle \operatorname{arccot} 3$ สามารถวาดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

ใช้พีทาโกรัสหาอีกด้าน จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 3^2 + 1^2\\ &=& 9 + 1\\ &=& 10\\ x &=& \sqrt{10} \end{eqnarray*}$$

$\displaystyle \operatorname{cosec} \theta = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ข้าม}}$ เราจึงสามารถเปลี่ยน $\displaystyle \operatorname{arccot} 3$ ให้อยู่ในรูป $\displaystyle \operatorname{arccosec} \sqrt{10}$ ได้ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*}  \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccot} 3) &=& \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccosec} \sqrt{10})\\ &=& {\sqrt{10}}^2\\ &=& 10 \end{eqnarray*}$$

,

เนื่องจาก $\operatorname{cosec}$ คือส่วนกลับของ $\sin$ เราจึงหา $\displaystyle \sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right)$ ก่อน เพื่อความสะดวก

จะเห็นว่า $\displaystyle \sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right)$ อยู่ในรูป $\sin$ ของผลบวก

ดังนั้น กำหนดตัวแปรให้ $\displaystyle A = 2 \operatorname{arccot} 2$ และ $\displaystyle B = \arccos \frac{3}{5}$

จากสูตร $\displaystyle \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ เราจะแยกหาทีละตัวดังนี้

,

$\displaystyle \sin A = \sin  (2 \operatorname{arccot} 2)$ ซึ่งอยู่ในรูป $\sin$ สองเท่า

เราจะใช้สูตร $\displaystyle \sin 2A = \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A}$ เพราะ $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \sin (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{2 \tan (\operatorname{arccot} 2)}{1 + \tan^2 (\operatorname{arccot} 2)} \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ เราสามารถเปลี่ยน $\operatorname{arccot} 2$ เป็น $\displaystyle \arctan \frac{1}{2}$ ได้ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \sin (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{2 \tan \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}\\ &=& \frac{2 \left(\frac{1}{2}\right)}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\\ &=& \frac{1}{1 + \frac{1}{4}}\\ &=& \frac{1}{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่า $\displaystyle \sin  (2 \operatorname{arccot} 2) = \frac{4}{5}$

,

$\displaystyle \cos B = \cos \left( \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{3}{5}$

,

$\displaystyle \cos A = \cos  (2 \operatorname{arccot} 2)$ ซึ่งอยู่ในรูป $\cos$ สองเท่า

เราจะใช้สูตร $\displaystyle \cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$ เพราะ $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} \cos (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{1 - \tan^2 (\operatorname{arccot} 2)}{1 + \tan^2 (\operatorname{arccot} 2)} \end{eqnarray*}$$

เนื่องจาก $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ เราสามารถเปลี่ยน $\operatorname{arccot} 2$ เป็น $\displaystyle \arctan \frac{1}{2}$ ได้ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*} \cos (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{1 - \tan^2 \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}\\ &=& \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\\ &=& \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}}\\ &=& \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$$

จะได้ว่า $\displaystyle \cos  (2 \operatorname{arccot} 2) = \frac{3}{5}$

,

$\displaystyle \sin B = \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right)$

เนื่องจาก $\displaystyle \cos \theta = \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}}$ ดังนั้น $\displaystyle \arccos \frac{3}{5}$ สามารถวาดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

ใช้พีทาโกรัสหาอีกด้าน จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} 5^2 &=& 3^2 + x^2\\ 25 &=& 9 + x^2\\ 16 &=& x^2\\ 4 &=& x \end{eqnarray*}$$

$\displaystyle \sin \theta = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}}$ เราจึงสามารถเปลี่ยน $\displaystyle \arccos \frac{3}{5}$ ให้อยู่ในรูป $\displaystyle \arcsin \frac{4}{5}$ ได้ ดังนั้น

$$\begin{eqnarray*}  \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right) &=&\sin \left( \arcsin \frac{4}{5} \right)\\ &=& \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$$

,

จาก  $\displaystyle \sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) = \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ เราจึงได้ว่า

$$\begin{eqnarray*} \sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) &=& \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{3}{5} \right) + \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{4}{5} \right)\\ &=& \frac{12}{25} + \frac{12}{25}\\ &=& \frac{24}{25} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $\displaystyle \operatorname{cosec} \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{25}{24}$

,

$$\begin{eqnarray*} \sec^2 (\arctan 2) + \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccot} 3) + \operatorname{cosec} \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) &=& 5 + 10 + \frac{25}{24}\\ &=& 15 + \frac{25}{24}\\ &=& \frac{360 + 25}{24}\\ &=& \frac{385}{24} \end{eqnarray*}$$