ค่าของ $\displaystyle \sec^2 (\arctan 2) + \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccot} 3) + \operatorname{cosec} \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right)$ ตรงกับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาการหาคำตอบ[/STEP]

เนื่องจากข้อนี้ สิ่งที่ต้องการหาอยู่ในรูปของฟังก์ชันตรีโกณ คู่กับอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณ เราสามารถหาค่าได้ในกรณีที่ฟังก์ชันตรีโกณนั้นคู่กับอินเวอร์สของตัวมันเอง เช่น

$\displaystyle \sin (\arcsin x) = x$

ดังนั้น ในข้อนี้เราจะใช้วิธีการเปลี่ยน $\operatorname{arc}$ ให้ตรงกับตัวฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด

[STEP]หา $\displaystyle \sec^2 (\arctan 2)$[/STEP]

เนื่องจาก $\displaystyle \tan \theta = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ชิด}}$ ดังนั้น $\displaystyle \arctan 2$ สามารถวาดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

ใช้พีทาโกรัสหาอีกด้าน จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& 1^2 + 2^2\\
&=& 1 + 4\\
&=& 5\\
x &=& \sqrt{5}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \sec \theta = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ชิด}}$ เราจึงสามารถเปลี่ยน $\displaystyle \arctan 2$ ให้อยู่ในรูป $\displaystyle \operatorname{arcsec} \sqrt{5}$ ได้ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sec^2 (\arctan 2) &=& \sec^2 (\operatorname{arcsec} \sqrt{5})\\
&=& {\sqrt{5}}^2\\
&=& 5
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\displaystyle \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccot} 3)$[/STEP]

เนื่องจาก $\displaystyle \cot \theta = \frac{\text{ชิด}}{\text{ข้าม}}$ ดังนั้น $\displaystyle \operatorname{arccot} 3$ สามารถวาดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

ใช้พีทาโกรัสหาอีกด้าน จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& 3^2 + 1^2\\
&=& 9 + 1\\
&=& 10\\
x &=& \sqrt{10}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \operatorname{cosec} \theta = \frac{\text{ฉาก}}{\text{ข้าม}}$ เราจึงสามารถเปลี่ยน $\displaystyle \operatorname{arccot} 3$ ให้อยู่ในรูป $\displaystyle \operatorname{arccosec} \sqrt{10}$ ได้ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
 \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccot} 3) &=& \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccosec} \sqrt{10})\\
&=& {\sqrt{10}}^2\\
&=& 10
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\displaystyle \operatorname{cosec} \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right)$[/STEP]

เนื่องจาก $\operatorname{cosec}$ คือส่วนกลับของ $\sin$ เราจึงหา $\displaystyle \sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right)$ ก่อน เพื่อความสะดวก

จะเห็นว่า $\displaystyle \sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right)$ อยู่ในรูป $\sin$ ของผลบวก

ดังนั้น กำหนดตัวแปรให้ $\displaystyle A = 2 \operatorname{arccot} 2$ และ $\displaystyle B = \arccos \frac{3}{5}$

จากสูตร $\displaystyle \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ เราจะแยกหาทีละตัวดังนี้

[STEP]หา $\sin A$[/STEP]

$\displaystyle \sin A = \sin  (2 \operatorname{arccot} 2)$ ซึ่งอยู่ในรูป $\sin$ สองเท่า

เราจะใช้สูตร $\displaystyle \sin 2A = \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A}$ เพราะ $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sin (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{2 \tan (\operatorname{arccot} 2)}{1 + \tan^2 (\operatorname{arccot} 2)}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ เราสามารถเปลี่ยน $\operatorname{arccot} 2$ เป็น $\displaystyle \arctan \frac{1}{2}$ ได้ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\sin (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{2 \tan \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}\\
&=& \frac{2 \left(\frac{1}{2}\right)}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\\
&=& \frac{1}{1 + \frac{1}{4}}\\
&=& \frac{1}{\frac{5}{4}}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle \sin  (2 \operatorname{arccot} 2) = \frac{4}{5}$

[STEP]หา $\cos B$[/STEP]

$\displaystyle \cos B = \cos \left( \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{3}{5}$

[STEP]หา $\cos A$[/STEP]

$\displaystyle \cos A = \cos  (2 \operatorname{arccot} 2)$ ซึ่งอยู่ในรูป $\cos$ สองเท่า

เราจะใช้สูตร $\displaystyle \cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$ เพราะ $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\cos (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{1 - \tan^2 (\operatorname{arccot} 2)}{1 + \tan^2 (\operatorname{arccot} 2)}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\cot$ คือส่วนกลับของ $\tan$ เราสามารถเปลี่ยน $\operatorname{arccot} 2$ เป็น $\displaystyle \arctan \frac{1}{2}$ ได้ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\cos (2 \operatorname{arccot} 2) &=& \frac{1 - \tan^2 \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\arctan \frac{1}{2}\right)}\\
&=& \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\\
&=& \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}}\\
&=& \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle \cos  (2 \operatorname{arccot} 2) = \frac{3}{5}$

[STEP]หา $\sin B$[/STEP]

$\displaystyle \sin B = \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right)$

เนื่องจาก $\displaystyle \cos \theta = \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}}$ ดังนั้น $\displaystyle \arccos \frac{3}{5}$ สามารถวาดเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

ใช้พีทาโกรัสหาอีกด้าน จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
5^2 &=& 3^2 + x^2\\
25 &=& 9 + x^2\\
16 &=& x^2\\
4 &=& x
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \sin \theta = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}}$ เราจึงสามารถเปลี่ยน $\displaystyle \arccos \frac{3}{5}$ ให้อยู่ในรูป $\displaystyle \arcsin \frac{4}{5}$ ได้ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
 \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right) &=&\sin \left( \arcsin \frac{4}{5} \right)\\
&=& \frac{4}{5}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\displaystyle \operatorname{cosec} \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right)$[/STEP]

จาก  $\displaystyle \sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) = \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ เราจึงได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\sin \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) &=& \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{3}{5} \right) + \left( \frac{3}{5} \right) \left( \frac{4}{5} \right)\\
&=& \frac{12}{25} + \frac{12}{25}\\
&=& \frac{24}{25}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle \operatorname{cosec} \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{25}{24}$

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sec^2 (\arctan 2) + \operatorname{cosec}^2 (\operatorname{arccot} 3) + \operatorname{cosec} \left( 2 \operatorname{arccot} 2 + \arccos \frac{3}{5} \right) &=& 5 + 10 + \frac{25}{24}\\
&=& 15 + \frac{25}{24}\\
&=& \frac{360 + 25}{24}\\
&=& \frac{385}{24}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\displaystyle \frac{385}{24}$[/ANS]

ข้อนี้จริงๆ แล้วโดยวิธีการนั้นไม่ยาก แต่คิดค่อนข้างยาว วิธีการเปลี่ยน $\operatorname{arc}$ ก็สามารถทำได้หลายวิธี หากฝึกการหาให้คล่อง ในแต่ละขั้นตอนจะสามารถทำได้ภายในไม่กี่บรรทัดเท่านั้น

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสองเท่า อินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรผลรวมและผลต่างมุม