ให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนสองหลัก $ab$ ทั้งหมด โดยที่

$$ab+ba=143$$

เมื่อ $a,b\in\left\{1,2,3,\cdots,9\right\}$ และ $a\neq b$

ผลบวกทั้งหมดของสมาชิกใน $S$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]สร้างสมการเงื่อนไขของตัวแปร $a$ กับ $b$[/STEP]

จากที่ $ab$ และ $ba$ เป็นจำนวนสองหลัก เราสามารถคำนวณค่าของจำนวนสองหลัก $ab$ กับ $ba$ ได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
ab & = & 10a+b\\
ba & = & 10b+a
\end{eqnarray*}

เมื่อแทนค่าลงไปในสมการ $ab+ba=143$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left(10a+b\right)+\left(10b+a\right) & = & 143\\
11a+11b & = & 143\\
11\left(a+b\right) & = & 143
\end{eqnarray*}

ทำให้สมการอยู่ในรูปที่ง่ายขึ้นโดยการหารด้วย $11$ ทั้งสองข้างของสมการ

\begin{eqnarray*}
\left(a+b\right) & = & \frac{143}{11}\\
a+b & = & 13
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้สมการเงื่อนไขของตัวแปร $a$ กับ $b$ อย่างง่ายเป็น $a+b=13$

[STEP]พิจารณาค่าของ $a$ กับ $b$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้ว $a+b=13$ และจากการที่ทั้ง $a$ และ $b$ ต่างก็ต้องเป็นเลขโดด แสดงว่าจะต้องมีค่าอย่างมากเป็น $9$

เราจึงเริ่มแทนค่า $a=9$ ลงใน $a+b=13$ เพื่อหาค่า $b$ ซึ่งจะได้

\begin{eqnarray*}
a+b & = & 13\\
\left(9\right)+b & = & 13\\
b & = & 13-9\\
b & = & 4
\end{eqnarray*}

จากนั้นเราจึงค่อยๆ ลดค่าของ $a$ ลงเป็น $a=8$ แล้วหาค่า $b$ ออกมาได้เป็น $b=5$ ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ เราจะได้ค่าของ $a$ กับ $b$ แต่ละคู่ดังตาราง

$a$ $b$
$9$ $4$
$8$ $5$
$7$ $6$
$6$ $7$
$5$ $8$
$4$ $9$

ซึ่งเมื่อลดค่า $a$ ลงจนถึง $a=3$ เมื่อลงในสมการ $a+b=13$

\begin{eqnarray*}
a+b & = & 13\\
\left(3\right)+b & = & 13\\
b & = & 13-3\\
b & = & 10
\end{eqnarray*}

จะได้ $b=10$ ที่ไม่เป็นเลขโดดอีกต่อไป กรณีนอกเหนือจากตารางด้านบนนี้จึงเป็นไปไม่ได้

นอกจากนั้นสังเกตว่าค่าของ $a$ กับ $b$ ในตาราง ไม่มีกรณีใดที่ $a=b$ เลย ดังนั้นจำนวนสองหลัก $ab$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อเขียนแจกแจงสมาชิกในเซต $S$ คือ

$$S=\{94,85,76,67,58,49\}$$

[STEP]คำนวณผลบวกของสมาชิกใน $S$[/STEP]

นำสมาชิกในเซต $S=\{94,85,76,67,58,49\}$ มารวมกัน โดยจับคู่บวกจำนวนที่สลับเลขโดดกันเพื่อให้คำนวณได้ง่ายขึ้น

\begin{eqnarray*}
\text{ผลรวม} & = & 94+85+76+67+58+49\\
 & = & (94+49)+(85+58)+(76+67)\\
 & = & 143 + 143 + 143\\
 & = & 429
\end{eqnarray*}

[ANS]$429$[/ANS]