ข้อมูลตัวอย่าง $5$ จำนวน คือ $x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5$ มี $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} {x_i}^2 = 214$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x})^2 = 34$

เมื่อ $\bar{x}$ คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่างนี้ และ $\bar{x}>0$

กำหนดให้ข้อมูลตัวอย่าง $x_1 + 2x_2 , x_2 + 2x_3 , x_3 + 2x_4 , x_4 + 2x_5 , x_5 + 2x_1$ มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $16$

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $x_1 x_2 , x_2 x_3 , x_3 x_4 , x_4 x_5 , x_5 x_1$

เฉลยละเอียด

[STEP]กำหนดตัวแปรใหม่[/STEP]

เนื่องจากข้อนี้มีการใช้ตัวแปร $x_i$ ค่อนข้างซ้ำซ้อน เราจึงกำหนดตัวแปรใหม่เพื่อป้องกันการสับสัน

จากข้อมูลตัวอย่าง $x_1 + 2x_2 , x_2 + 2x_3 , x_3 + 2x_4 , x_4 + 2x_5 , x_5 + 2x_1$

กำหนดให้ $y_1, y_2, y_3, y_4, y_5$ แทนข้อมูลตัวอย่างทั้ง $5$ จำนวน นั่นคือ

$y_1 = x_1 + 2x_2$
$y_2 = x_2 + 2x_3$
$y_3 = x_3 + 2x_4$
$y_4 = x_4 + 2x_5$
$y_5 = x_5 + 2x_1$

กำหนดให้ $z_1, z_2, z_3, z_4, z_5$ แทนข้อมูล $x_1 x_2 , x_2 x_3 , x_3 x_4 , x_4 x_5 , x_5 x_1$ นั่นคือ

$z_1 = x_1 x_2$
$z_2 = x_2 x_3$
$z_3 = x_3 x_4$
$z_4 = x_4 x_5$
$z_5 = x_5 x_1$

[STEP]พิจารณาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลตัวอย่าง $y_1, y_2, y_3, y_4, y_5$[/STEP]

เนื่องจากโจทย์ให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมา ลองพิจารณาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง คือ

\begin{eqnarray*}
SD &=& \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i ^2 - n \overline{x} ^2}{n-1}}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
16 &=& \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} y_i ^2 - 5 \overline{y} ^2}{5-1}}\\
16 &=& \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} y_i ^2 - 5 \overline{y} ^2}{4}}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ต้องหา $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} y_i ^2$ และ $\displaystyle \overline{y}$

[STEP]หา $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} y_i ^2$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{5} y_i ^2 &=& y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 + y_5^2\\
&=& (x_1 + 2x_2)^2 + (x_2 + 2x_3)^2 + ... + (x_5 + 2x_1)^2\\
&=& [x_1 ^2 + 2 (x_1) (2x_2) + 4 x_2 ^2] + [x_2 ^2 + 2 (x_2) (2x_3) + 4 x_3 ^2] + ... + [x_5 ^2 + 2 (x_5) (2x_1) + 4 x_1 ^2]\\
&=& (x_1 ^2 + 4 x_1 x_2 + 4 x_2 ^2) + (x_2 ^2 + 4 x_2 x_3 + 4 x_3 ^2) + ... + (x_5 ^2 + 4 x_5 x_1 + 4 x_1 ^2)
\end{eqnarray*}

จัดรูปใหม่โดยรวบตัวแปรเดียวกันไว้ด้วยกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{5} y_i ^2 &=& (5 x_1 ^2 + 5 x_2 ^2 + ... + 5 x_5 ^2) + (4 x_1 x_2 + 4 x_2 x_3 + ... + 4 x_5 x_1)\\
&=& 5 (x_1 ^2 + x_2 ^2 + ... + x_5 ^2) + 4 (x_1 x_2 +  x_2 x_3 + ... +  x_5 x_1)
\end{eqnarray*}

จาก $\displaystyle x_1 ^2 + x_2 ^2 + ... + x_5 ^2 = \sum_{i=1}^{5} x_i ^2 = 214$

และ $\displaystyle x_1 x_2 +  x_2 x_3 + ... +  x_5 x_1 = z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 = \sum_{i=1}^{5} z_i$

จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{5} y_i ^2 &=& 5(214) + 4 \sum_{i=1}^{5} z_i\\
&=& 1,070 + 4 \sum_{i=1}^{5} z_i
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $\displaystyle \overline{y}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\overline{y} &=& \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5}{5}\\
&=& \frac{x_1 + 2x_2 + x_2 + 2x_3 + x_3 + 2x_4 + x_4 + 2x_5 + x_5 + 2x_1}{5}\\
&=& \frac{3 x_1 + 3 x_2 + 3 x_3 + 3 x_4 + 3 x_5}{5}\\
&=& \frac{3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)}{5}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5$[/STEP]

จาก $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x})^2 = 34$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{5} (x_i ^2 - 2 x_i \overline{x} + {\overline{x}}^2) &=& 34\\
\sum_{i=1}^{5} x_i ^2 - 2 \overline{x} \sum_{i=1}^{5} x_i + \sum_{i=1}^{5} {\overline{x}}^2 &=& 34\\
214 - 2 \overline{x} \sum_{i=1}^{5} x_i + 5 {\overline{x}}^2 &=& 34\\
180 - 2 \overline{x} \sum_{i=1}^{5} x_i + 5 {\overline{x}}^2 &=& 0
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก

\begin{eqnarray*}
\overline{x} &=& \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\\
\overline{x} &=& \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5}\\
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
180 - 2 \left(  \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5} \right)\left( \sum_{i=1}^{5} x_i \right) + 5 \left(  \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5} \right)^2 &=& 0\\
180 - \frac{2}{5} \left( \sum_{i=1}^{5} x_i \right)^2 + \frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{5}{25}} \left(  \sum_{i=1}^{5} x_i \right)^2 &=& 0\\
180 - \frac{2}{5} \left( \sum_{i=1}^{5} x_i \right)^2 + \frac{1}{5} \left(  \sum_{i=1}^{5} x_i \right)^2 &=& 0\\
180 - \frac{1}{5} \left( \sum_{i=1}^{5} x_i \right)^2 &=& 0
\end{eqnarray*}

แก้สมการเพื่อหา $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} x_i$ จะได้

\begin{eqnarray*}
180 &=& \frac{1}{5} \left( \sum_{i=1}^{5} x_i \right)^2\\
900 &=& \left( \sum_{i=1}^{5} x_i \right)^2\\
30 &=& \sum_{i=1}^{5} x_i
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 30$

แทนค่ากลับเพื่อหา $\displaystyle \overline{y}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\overline{y} &=& \frac{3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)}{5}\\
&=& \frac{3(30)}{5}\\
&=& \frac{3(\cancelto{6}{30})}{\cancel{5}}\\
&=& 18
\end{eqnarray*}

[STEP]กลับไปพิจารณาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลตัวอย่างอีกครั้ง[/STEP]

นำ $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} y_i ^2 = 1,070 + 4 \sum_{i=1}^{5} z_i$ และ $\overline{y} = 18$ แทนค่า จะได้

\begin{eqnarray*}
16 &=& \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} y_i ^2 - 5 \overline{y} ^2}{4}}\\
16 &=& \sqrt{\frac{1,070 + 4 \sum_{i=1}^{5} z_i - 5 (18)^2}{4}}\\
16 &=& \sqrt{\frac{1,070 + 4 \sum_{i=1}^{5} z_i - 5 (324)}{4}}\\
16 &=& \sqrt{\frac{1,070 + 4 \sum_{i=1}^{5} z_i - 1,620}{4}}\\
16 &=& \sqrt{\frac{4 \sum_{i=1}^{5} z_i - 550}{4}}
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
256 &=& \frac{4 \sum_{i=1}^{5} z_i - 550}{4}\\
1,024 &=& 4 \sum_{i=1}^{5} z_i - 550\\
1,574 &=& 4 \sum_{i=1}^{5} z_i\\
393.5 &=& \sum_{i=1}^{5} z_i
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $x_1 x_2 , x_2 x_3 , x_3 x_4 , x_4 x_5 , x_5 x_1$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\overline{z} &=& \frac{x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_4 + x_4 x_5 + x_5 x_1}{5}\\
&=& \frac{\sum_{i=1}^{5} z_i}{5}\\
&=& \frac{393.5}{5}\\
&=& 78.7
\end{eqnarray*}

[ANS]$78.7$[/ANS]

ข้อมูลที่กำหนดเป็นกลุ่มตัวอย่าง $SD$ จึงต้องใช้ สูตรดังต่อไปนี้

\begin{eqnarray*}
SD = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i ^2 - n \overline{x} ^2}{n-1}}
\end{eqnarray*}

ความรู้ที่ใช้ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์การแปรผัน