กำหนดให้ $A$ เป็นเซตของคู่อันดับ $(x,y)$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2-x}+\sqrt{y} &=& 2 \\
3\log_416x^2 &=& 6+6\log_2\sqrt{y}
\end{eqnarray*}

ให้ $B = \left\{ x^2 + y^2 \mid (x,y) \in A \right\}$ แล้วค่าที่มากที่สุดของสมาชิกในเซต $B$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสมการลอการิทึม[/STEP]

\begin{eqnarray*}
3\log_416x^2 &=& 6+6\log_2\sqrt{y}\\
3 (\log_4 16 + \log_4 x^2) &=& 6 + 6 \log_2 \sqrt{y}\\
3 (\log_4 4^2 + \log_{2^2} x^2) &=& 6 + 6 \log_2 \sqrt{y}\\
3 \left(2 + \frac{1}{2}\log_{2} x^2 \right) &=& 6 + 6 \log_2 \sqrt{y}
\end{eqnarray*}

น้ำ $\displaystyle \frac{1}{2}$ เข้าไปใน $\log$

\begin{eqnarray*}
3 \left( 2 + \log_{2} (x^2)^{\frac{1}{2}} \right) &=& 6 + 6 \log_2 \sqrt{y}\\
6 + 3 \log_2 \sqrt{x^2} &=& 6 + 6 \log_2 \sqrt{y}
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $\sqrt{x^2} = |x|$ จะได้

\begin{eqnarray*}
6 + 3 \log_2 |x| &=& 6 + 6 \log_2 \sqrt{y}\\
3 \log_2 |x| &=& 6 \log_2 \sqrt{y}\\
\log_2 |x| &=& 2 \log_2 \sqrt{y}
\end{eqnarray*}

นำ $2$ เข้าไปใน $\log$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\log_2 |x| &=& \log_2 (\sqrt{y})^2\\
\log_2 |x| &=& \log_2 y\\
|x| &=& y
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x = y$ หรือ $x = -y$

[STEP]แทนค่าในสมการแรก[/STEP]

จากสมการ $\sqrt{2-x}+\sqrt{y} = 2$

กรณีที่ 1:  $x = y$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2 - x} + \sqrt{x} &=& 2\\
\sqrt{2 - x} &=& 2 - \sqrt{x}\\
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
(\sqrt{2 - x})^2 &=& (2 - \sqrt{x})^2\\
2 - x &=& 4 - 4 \sqrt{x} + x\\
0 &=& 2x - 4 \sqrt{x} + 2\\
0 &=& x - 2 \sqrt{x} + 1
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าอยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ คือ

\begin{eqnarray*}
0 &=& (\sqrt{x} - 1)^2\\
0 &=& \sqrt{x} - 1\\
1 &=& \sqrt{x}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $x = 1$ และ $y = 1$

กรณีที่ 2:  $x = -y$

\begin{eqnarray*}
\sqrt{2 - (-y)} + \sqrt{y} &=& 2\\
\sqrt{2 + y} &=& 2 - \sqrt{y}\\
\end{eqnarray*}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
(\sqrt{2 + y})^2 &=& (2 - \sqrt{y})^2\\
2 + y &=& 4 - 4 \sqrt{y} + y\\
4 \sqrt{y} &=& 2\\
\sqrt{y} &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle y = \frac{1}{4}$ และ $\displaystyle x = -\frac{1}{4}$

[STEP]หาเซต $A$ และ $B$[/STEP]

เราได้ว่า $\displaystyle A = \left\{ (1, 1), \left(-\frac{1}{4} , \frac{1}{4} \right) \right\}$

และ $\displaystyle B = \left\{ 1^2 + 1^2 , \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^2  \right\} = \left\{ 2, \frac{1}{8} \right\}$

ค่าที่มากที่สุดของสมาชิกในเซต $B$ จึงเป็น $2$

[ANS]$2$[/ANS]