ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} &<& \sqrt{1-x}
\end{eqnarray*}

ถ้า $a$ เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต $A$ และ $b$ เป็นขอบเขตล่างมากสุดของเซต $A$ แล้ว ค่าของ $a^2 + b^2$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาอสมการ[/STEP]

อสมการ $\displaystyle \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} < \sqrt{1-x}$

สามารถหาคำตอบได้เมื่อ

\begin{eqnarray*}
1 + x &\geq& 0\\
x &\geq& -1
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
1 - x &\geq& 0\\
1 &\geq& x
\end{eqnarray*}

นั่นคือ อสมการนี้หาคำตอบได้ในช่วง $-1 \leq x \leq 1$

[STEP]กำหนดตัวแปรเพื่อให้แก้อสมการได้ง่ายขึ้น[/STEP]

กำหนดให้ $P = \sqrt{1+x}$ และ $Q = \sqrt{1-x}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
x &=& \frac{(1+x) - (1-x)}{2}\\
&=& \frac{(\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2}{2}\\
&=& \frac{P^2 - Q^2}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้อสมการ[/STEP]

นำ $P$ และ $Q$ แทนในอสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{2} \left( \frac{P^2 - Q^2}{2} \right)}{P + Q} &<& Q\\
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (P-Q) (P+Q)}{P+Q} &<& Q\\
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (P-Q) (\cancel{P+Q})}{\cancel{P+Q}} &<& Q\\
\frac{\sqrt{2}}{2} (P-Q) &<& Q
\end{eqnarray*}

จัดรูปให้ $2 = (\sqrt{2})^2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} (P-Q) &<& Q\\
\frac{1}{\sqrt{2}} (P-Q) &<& Q\\
P - Q &<& \sqrt{2} Q\\
P &<& (\sqrt{2}+1)Q
\end{eqnarray*}

แทนค่า $P$ และ $Q$ กลับ

\begin{eqnarray*}
\sqrt{1+x} &<& (\sqrt{2} + 1) \sqrt{1-x}\\
(\sqrt{1+x})^2 &<& [(\sqrt{2} + 1) \sqrt{1-x}]^2\\
1 + x &<& (\sqrt{2} + 1)^2 (1-x)\\
1 + x &<& (2 + 2\sqrt{2} + 1)(1-x)
\end{eqnarray*}

แก้อสมการหาค่า $x$

\begin{eqnarray*}
1 + x &<& (3 + 2\sqrt{2})(1-x)\\
1 + x &<& 3 - 3x + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}x\\
x + 3x + 2\sqrt{2}x &<& 3 + 2\sqrt{2} - 1\\
(4 + 2\sqrt{2})x &<& 2 + 2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}

เราจะได้ค่า $x$ คือ

\begin{eqnarray*}
x &<& \frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}\\
x &<& \frac{2(1 + \sqrt{2})}{2(2 + \sqrt{2})}\\
x &<& \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยการคูณด้วย $2 - \sqrt{2}$ ทั้งเศษและส่วน

\begin{eqnarray*}
x &<& \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}\\
x &<& \frac{2 - \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2}{4-2}\\
x &<& \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาเซต $A$[/STEP]

เนื่องจากอสมการนี้มีคำตอบเมื่อ $x \in [-1, 1]$

ดังนั้น เซตคำตอบคือ $\displaystyle A = \left(-\infty, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cap [-1, 1] = \left[ -1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

[STEP]หาขอบเขตของเซต $A$[/STEP]

จาก $\displaystyle A = \left[ -1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

จะได้ขอบเขตบนน้อยสุด คือ $\displaystyle a = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ขอบเขตล่างมากสุด คือ $b = -1$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a^2 + b^2 &=& \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (-1)^2\\
&=& \frac{2}{4} + 1\\
&=& \frac{1}{2} + 1\\
&=& \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}

[ANS]$1.5$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการและอสมการติดรากที่ 2