ให้ $S$ เป็นเซตของคู่อันดับ $(a, b)$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ

$\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$

แล้ว จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $S$

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสมการ[/STEP]

จาก $$\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$$

นำ $10ab$ คูณตลอดทั้งสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
10\cancel{a}b\left(\frac{1}{\cancel{a}}\right) - 10a\cancel{b}\left(\frac{1}{\cancel{b}}\right) &=& \cancel{10}ab\left(\frac{1}{\cancel{10}}\right)\\
10b - 10a &=& ab\\
10b - ab - 10a &=& 0\\
b(10 - a) - 10a &=& 0
\end{eqnarray*}

นำ $100$ บวกทั้งสองข้างของสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
b(10 - a) - 10a + 100 &=& 0 + 100\\
b(10-a) + 100 - 10a &=& 100\\
b(10-a) + 10(10-a) &=& 100\\
(10-a)(b+10) &=& 100
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาผลคูณ[/STEP]

เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า $b+10$ เป็นบวกเสมอ

ดังนั้น $10 - a$ ต้องเป็นบวกด้วย จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
10 - a &>& 0\\
10 &>& a
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $a = 1, 2, 3, ..., 9$

[STEP]พิจารณาค่า $a$[/STEP]

ถ้า $a = 1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-1)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{9}\\
b &=& \frac{100}{9} - 10
\end{eqnarray*}

ขัดแย้งกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a \neq 1$

ถ้า $a = 2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-2)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{8}\\
b &=& \frac{25}{2} - 10
\end{eqnarray*}

ขัดแย้งกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a \neq 2$

ถ้า $a = 3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-3)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{7}\\
b &=& \frac{100}{7} - 10
\end{eqnarray*}

ขัดแย้งกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a \neq 3$

ถ้า $a = 4$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-4)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{6}\\
b &=& \frac{50}{3} - 10
\end{eqnarray*}

ขัดแย้งกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a \neq 4$

ถ้า $a = 5$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-5)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{5}\\
b &=& 20 - 10\\
b &=& 10
\end{eqnarray*}

สอดคล้องกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $(5, 10) \in S$

ถ้า $a = 6$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-6)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{4}\\
b &=& 25 - 10\\
b &=& 15
\end{eqnarray*}

สอดคล้องกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $(6, 15) \in S$

ถ้า $a = 7$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-7)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{3}\\
b &=& \frac{100}{3} - 10
\end{eqnarray*}

ขัดแย้งกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a \neq 7$

ถ้า $a = 8$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-8)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{2}\\
b &=& 50 - 10\\
b &=& 40
\end{eqnarray*}

สอดคล้องกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $(8, 40) \in S$

ถ้า $a = 9$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(10-9)(b+10) &=& 100\\
b+10 &=& \frac{100}{1}\\
b &=& 100 - 10\\
b &=& 90
\end{eqnarray*}

สอดคล้องกับเงื่อนไข $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $(9, 90) \in S$

[STEP]พิจารณาเซต $S$[/STEP]

ดังนั้น $S = \{ (5, 10), (6, 15), (8, 40), (9, 90) \}$ มีสมาชิก $4$ ตัว

[ANS]$4$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : จำนวนเต็ม สมบัติของการหารลงตัว