ถ้า $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey = 21$ เป็นสมการของไฮเพอร์โบลารูปหนึ่ง ซึ่งมีแกนตามขวางขนานกับแกน $X$ มีเส้นตรง $2x - y + 1 = 0$ เป็นเส้นกำกับเส้นหนึ่ง และมีจุด $(1 + 2 \sqrt{5} , 3)$ เป็นโฟกัสจุดหนึ่ง แล้ว ค่าของ $A^2 + B^2 + D^2 + E^2$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อมูลที่โจทย์กำหนด[/STEP]

เนื่องจากไฮเพอร์โบลามีแกนตามขวางขนานกับแกน $X$ และมีโฟกัสหนึ่งคือ $(1 + 2 \sqrt{5} , 3)$

แสดงว่าจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาต้องมีค่า $y$ เป็น $3$ เช่นกัน สมมุติให้จุดศูนย์กลางคือ $(h, 3)$

เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาจะผ่านจุดศูนย์กลางเสมอ แสดงว่าเส้นกำกับ $2x - y + 1 = 0$ ผ่านจุด $(h, 3)$ ด้วย ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
2h - 3 + 1 &=& 0\\
2h - 2 &=& 0\\
2h &=& 2\\
h &=& 1
\end{eqnarray*}

จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาคือ $(1, 3)$

และจะเห็นว่า จุดศูนย์กลาง $(1, 3)$ นั้น ห่างจากโฟกัส $(1 + 2 \sqrt{5} , 3)$ อยู่ $2 \sqrt{5}$ หน่วย เราจึงได้ค่า $c = 2\sqrt{5}$

[STEP]วาดรูปไฮเพอร์โบลา[/STEP]

เราวาดรูปไฮเพอร์โบลาเคร่าๆ ได้ดังนี้

จะเห็นว่าเป็นพาราโบลาแนวตะแคง แกนตามขวางขนานแกน $X$ แสดงว่าสมการมาตรฐานจะอยู่ในรูป $\displaystyle \frac{(x - 1)^2}{a^2} - \frac{(y - 3)^2}{b^2} = 1$

สมการเส้นกำกับอยู่ในรูปของ

\begin{eqnarray*}
y-k &=& \pm \frac{\text{ใต้}\;y}{\text{ใต้}\;x} (x-h)\\
y-3 &=& \pm \frac{b}{a} (x-1)
\end{eqnarray*}

จัดรูปสมการเส้นกำกับ $2x - y + 1 = 0$

\begin{eqnarray*}
2x - y + 1 &=& 0\\
2x + 1 &=& y\\
y &=& 2x + 1
\end{eqnarray*}

ลบ $3$ ทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
y - 3 &=& 2x + 1 - 3\\
y - 3 &=& 2x - 2\\
y - 3 &=& 2(x - 1)
\end{eqnarray*}

แสดงว่า

\begin{eqnarray*}
\frac{b}{a} &=& 2\\
b &=& 2a
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $a$ และ $b$[/STEP]

จากความสัมพันธ์ระหว่าง $a, b$ และ $c$ ของไฮเพอร์โบลา คือ $c^2 = a^2 + b^2$

\begin{eqnarray*}
(2\sqrt{5})^2 &=& a^2 + (2a)^2\\
20 &=& a^2 + 4a^2\\
20 &=& 5a^2\\
4 &=& a^2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $a = 2$ และ $b = 2a = 4$

[STEP]สร้างสมการ[/STEP]

จะได้สมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา คือ $\displaystyle \frac{(x - 1)^2}{2^2} - \frac{(y - 3)^2}{4^2} = 1$

จัดรูปให้เป็นสมการทั่วไป

\begin{eqnarray*}
&&\frac{x^2 - 2x + 1}{4} - \frac{y^2 - 6y + 9}{16} &=& 1\\
\text{นำ}\;16\;\text{คูณตลอด} && 4(x^2 - 2x + 1) - (y^2 - 6y + 9) &=& 16\\
&& 4x^2 - 8x + 4 - y^2 + 6y - 9 &=& 16\\
&& 4x^2 - y^2 - 8x + 6y -5 &=& 16
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $4x^2 - y^2 - 8x + 6y = 21$

เมื่อเทียบกับที่โจทย์กำหนดคือ $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey = 21$ จะได้ $A = 4 , B = -1 , D = -8$ และ $E = 6$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
A^2 + B^2 + D^2 + E^2 &=& 4^2 + (-1)^2 + (-8)^2 + 6^2\\
&=& 16  +1 + 64 + 36\\
&=& 117
\end{eqnarray*}

[ANS]$117$[/ANS]

วิธีการหาค่าต่างๆ ในสมการภาคตัดกรวย สามารถทำได้หลายวิธี พยายามเลือกวิธีที่หาคำตอบได้ง่ายที่สุดครับ

ความรู้ที่ใช้ : การสร้างสมการไฮเพอร์โบลา ไฮเพอร์โบลา