ข้อใดคือค่าของ $\displaystyle (3-4\sin^2 9^\circ)(3-4\sin^2 27^\circ)(3-4\sin^2 81^\circ)(3-4\sin^2 243^\circ) $

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสูตรมุม $3$ เท่า[/STEP]

จาก $\displaystyle \sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$

จะเห็นว่า จากโจทย์ ทุกวงเล็บอยู่ในรูป $\displaystyle 3 - 4 \sin^2 A$ ซึ่งสามารถจัดให้อยู่ในรูปสูตร $\displaystyle \sin 3A$ ได้

[STEP]จัดรูปให้อยู่ในรูป $\displaystyle 3 \sin A - 4 \sin^3 A$[/STEP]

$\displaystyle 3 - 4 \sin^2 A$ สามารถจัดให้อยู่ในรูปสูตร $\displaystyle \sin 3A$ ได้โดยการคูณ $\displaystyle \sin A$ เพิ่มเข้าไป

นั่นคือ

$\displaystyle 3 - 4 \sin^2 9^\circ$ ต้องคูณด้วย $\displaystyle \sin 9^\circ$
$\displaystyle 3 - 4 \sin^2 27^\circ$ ต้องคูณด้วย $\displaystyle \sin 27^\circ$
$\displaystyle 3 - 4 \sin^2 81^\circ$ ต้องคูณด้วย $\displaystyle \sin 81^\circ$
$\displaystyle 3 - 4 \sin^2 243^\circ$ ต้องคูณด้วย $\displaystyle \sin 243^\circ$

ดังนั้น เราจึงคูณด้วย $\displaystyle \sin 9^\circ \sin 27^\circ \sin 81^\circ \sin 243^\circ$ เข้าไปทั้งเศษและส่วน จะได้

\begin{eqnarray*}
&& (3-4\sin^2 9^\circ)(3-4\sin^2 27^\circ)(3-4\sin^2 81^\circ)(3-4\sin^2 243^\circ)\\
&=& \frac{(\sin 9^\circ \sin 27^\circ \sin 81^\circ \sin 243^\circ)(3-4\sin^2 9^\circ)(3-4\sin^2 27^\circ)(3-4\sin^2 81^\circ)(3-4\sin^2 243^\circ)}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ \sin 81^\circ \sin 243^\circ}
\end{eqnarray*}

กระจาย $\displaystyle \sin 9^\circ, \sin 27^\circ, \sin 81^\circ, \sin 243^\circ$ เข้าไปในแต่ละวงเล็บ จะได้

\begin{eqnarray*}
&=& \frac{(3\sin9^\circ-4\sin^3 9^\circ)(3\sin27^\circ-4\sin^3 27^\circ)(3\sin81^\circ-4\sin^3 81^\circ)(3\sin243^\circ-4\sin^3 243^\circ)}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ \sin 81^\circ \sin 243^\circ}
\end{eqnarray*}

[STEP]รวบสูตร $\displaystyle \sin 3A$[/STEP]

จากสูตร $\displaystyle \sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$ จะได้ว่า

$\displaystyle 3\sin9^\circ-4\sin^3 9^\circ = \sin 3(9^\circ) = \sin 27^\circ$
$\displaystyle 3\sin27^\circ-4\sin^3 27^\circ = \sin 3(27^\circ) = \sin 81^\circ$
$\displaystyle 3\sin81^\circ-4\sin^3 81^\circ = \sin 3(81^\circ) = \sin 243^\circ$
$\displaystyle 3\sin243^\circ-4\sin^3 243^\circ = \sin 3(243^\circ) = \sin 729^\circ$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
&& \frac{(3\sin9^\circ-4\sin^3 9^\circ)(3\sin27^\circ-4\sin^3 27^\circ)(3\sin81^\circ-4\sin^3 81^\circ)(3\sin243^\circ-4\sin^3 243^\circ)}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ \sin 81^\circ \sin 243^\circ}\\
&=&  \frac{\sin 27^\circ \sin 81^\circ \sin 243^\circ \sin 729^\circ}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ \sin 81^\circ \sin 243^\circ}\\
&=& \frac{\cancel{\sin 27^\circ} \cancel{\sin 81^\circ} \cancel{\sin 243^\circ} \sin 729^\circ}{\sin 9^\circ \cancel{\sin 27^\circ} \cancel{\sin 81^\circ} \cancel{\sin 243^\circ}}\\
&=& \frac{\sin 729^\circ}{\sin 9^\circ}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาคำตอบ[/STEP]

ยุบมุม $729^\circ$ จะได้ว่า $\sin 729^\circ = \sin (720^\circ + 9^\circ)$

ซึ่ง $720^\circ$ วนรอบวงกลมหนึ่งหน่วยกลับมาเป็น $0^\circ$ อีกครั้ง จะได้ว่า $\sin 729^\circ = \sin 9^\circ$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin 729^\circ}{\sin 9^\circ} &=& \frac{\sin 9^\circ}{\sin 9^\circ}\\
&=& \frac{\cancel{\sin 9^\circ}}{\cancel{\sin 9^\circ}}\\
&=& 1
\end{eqnarray*}

[ANS]$1$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรมุมสามเท่า