กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ

$$\left| \begin{matrix} 1 & b & 0 \\ a & 4 & 1\\ 5 & a  & -a \end{matrix}\right| = -17$$

แล้วค่าของ $\quad\left| \begin{matrix}  5+2a & 2 & 5\\ 8+a & 2b & a \\ 2-a & 0 & -a \end{matrix} \right|\quad$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]ดำเนินการตามแถวเปลี่ยนไปเป็นเมทริกซ์ที่โจทย์ให้ค่า $\det$ มา[/STEP]

เป้าหมายของขั้นตอนนี้ คือ นำเมทริกซ์ที่โจทย์สั่งให้คำนวณ $\det$ ซึ่งต่อไปนี้ขอตั้งชื่อว่า $D=\begin{bmatrix}  5+2a & 2 & 5\\ 8+a & 2b & a \\ 2-a & 0 & -a \end{bmatrix}$ มาดำเนินการตามแถวเพื่อเปลี่ยนกลับมาเป็นเมทริกซ์ที่เราทราบค่า $\det$ อยู่แล้ว นั่นคือ เปลี่ยนมาเป็นเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix} 1 & b & 0 \\ a & 4 & 1\\ 5 & a  & -a \end{bmatrix}$

เปรียบเทียบระหว่างเมทริกซ์ทั้งสอง จะเห็นว่าแนวตั้งที่ $3$ ของเมทริกซ์ $D$ มีค่าตรงกับแถวที่ $3$ ของเมทริกซ์ $A$ 

ดังนั้นเราจึงทำการทรานสโพสเมทริกซ์ $D$ ซึ่งยังคงทำให้เมทริกซ์ใหม่ที่ได้มีดีเทอร์มิแนนต์เท่าเดิม

\[
\left[\begin{array}{ccc}
5+2a & 2 & 5\\
8+a & 2b & a\\
2-a & 0 & -a
\end{array}\right]\underrightarrow{\text{ทรานสโพส}}\left[\begin{array}{ccc}
5+2a & 8+a & 2-a\\
2 & 2b & 0\\
5 & a & -a
\end{array}\right]
\]

จะเห็นว่าแถวที่ $2$ ของเมทริกซ์ใหม่ที่ได้มีชุดตัวแปรตรงกับ แถวที่ $1$ ของ $A$ และยังเห็นชัดอีกว่ามีค่าเป็น $2$ เท่าของเมทริกซ์ $A$

เราจึงดำเนินการตามแถวโดยการสลับแถวที่ $1$ กับแถวที่ $2$ ของเมทริกซ์ที่ได้จากการทรานสโพส

\[
\left[\begin{array}{ccc}
5+2a & 8+a & 2-a\\
2 & 2b & 0\\
5 & a & -a
\end{array}\right]\underrightarrow{R_{12}}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right]
\]

จากนั้นคูณด้วย $\dfrac12$ ที่แถวที่ $1$ เพื่อให้ได้แถวที่ $1$ ตรงกับเมทริกซ์ $A$

\[
\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right]\underrightarrow{\frac{1}{2}R_{1}}\left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right]
\]

ซึ่งเมทริกซ์ใหม่ที่ได้มีแถวที่ $1$ กับแถวที่ $3$ ตรงกับเมทริกซ์ $A$ เรียบร้อยแล้ว ในขั้นตอนต่อไปเราจะต้องดำเนินการตามแถวแบบนำค่าคงตัวไปคูณแถวหนึ่งแล้วไปบวกเก็บไว้อีกแถวเพื่อปรับให้แถวที่ $2$ เปลี่ยนไปเหมือนกับเมทริกซ์ $A$ ให้ได้ โดยเริ่มจากกำจัดตัวแปร $a$ ออกจากแถวที่ $2$ ก่อน

นำ $-1$ ไปคูณแถวที่ $3$ แล้วไปบวกเก็บไว้ในแถวที่ $2$ (เพื่อกำจัดตัวแปร $a$ ในแถวที่ $2$ แนวตั้งที่ $2$ และ $3$

\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right] & \underrightarrow{\left(-1\right)R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}} & \left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
2a & 8 & 2\\
5 & a & -a
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าแถวที่ $2$ ยังคงมีค่าเป็นสองเท่าของเมทริกซ์ $A$ เราจึงคูณด้วย $\dfrac12$ ที่แถวที่ $2$ อีกครั้ง ก็จะได้เมทริกซ์ $A$ ตามที่เราต้องการพอดี

\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
2a & 8 & 2\\
5 & a & -a
\end{array}\right] & \underrightarrow{\frac{1}{2}R_{2}} & \left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
a & 4 & 1\\
5 & a & -a
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณดีเทอร์มิแนนต์จากการดำเนินการตามแถว[/STEP]

จากขั้นตอนที่แล้วเราได้นำเมทริกซ์ $D=\begin{bmatrix}  5+2a & 2 & 5\\ 8+a & 2b & a \\ 2-a & 0 & -a \end{bmatrix}$ มาทรานสโพสและดำเนินการตามแถวจนเปลี่ยนมาเป็นเมทริกซ์ $A$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\left[\begin{array}{ccc}
5+2a & 2 & 5\\
8+a & 2b & a\\
2-a & 0 & -a
\end{array}\right] & \underrightarrow{\text{ทรานสโพส}} & \left[\begin{array}{ccc}
5+2a & 8+a & 2-a\\
2 & 2b & 0\\
5 & a & -a
\end{array}\right]\\
 & \underrightarrow{R_{12}} & \left[\begin{array}{ccc}
2 & 2b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right]\\
 & \underrightarrow{\frac{1}{2}R_{1}} & \left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right]\\
 & \underrightarrow{\left(-1\right)R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}} & \left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
2a & 8 & 2\\
5 & a & -a
\end{array}\right]\\
 & \underrightarrow{\frac{1}{2}R_{2}} & \left[\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
a & 4 & 1\\
5 & a & -a
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}

เริ่มต้นจากเมทริกซ์ $D$ มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ $\det D$

  1. ทรานสโพส ดีเทอร์มิแนนต์ก็ยังคงเท่าเดิม คือ $\det D$
  2. สลับแถว $R_{12}$ ดีเทอร์มิแนนต์ตัวใหม่จะต้องคูณด้วย $(-1)$ จึงได้ $-\det D$
  3. คูณด้วย $\frac12$ ที่แถว $1$ ดีเทอร์มิแนนต์ตัวใหม่ต้องคูณด้วย $\frac12$ จึงได้ $-\frac12\det D$
  4. ดำเนินการตามแถวแบบ $(-1)R_3 + R_2 \rightarrow R_2$ ดีเทอร์มิแนนต์เท่าเดิม คือ $-\frac12\det D$
  5. คูณด้วย $\frac12$ ที่แถว $2$ ดีเทอร์มิแนนต์ตัวใหม่ต้องคูณด้วย $\frac12$ จึงได้ $-\frac14\det D$

\begin{eqnarray*}
\det D=\left|\begin{array}{ccc}
5+2a & 2 & 5\\
8+a & 2b & a\\
2-a & 0 & -a
\end{array}\right| & \underrightarrow{\text{ทรานสโพส}} & \left|\begin{array}{ccc}
5+2a & 8+a & 2-a\\
2 & 2b & 0\\
5 & a & -a
\end{array}\right|=\det D\\
 & \underrightarrow{R_{12}} & \left|\begin{array}{ccc}
2 & 2b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right|=-\det D\\
 & \underrightarrow{\frac{1}{2}R_{1}} & \left|\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
5+2a & 8+a & 2-a\\
5 & a & -a
\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\det D\\
 & \underrightarrow{\left(-1\right)R_{3}+R_{2}\rightarrow R_{2}} & \left|\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
2a & 8 & 2\\
5 & a & -a
\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\det D\\
 & \underrightarrow{\frac{1}{2}R_{2}} & \left|\begin{array}{ccc}
1 & b & 0\\
a & 4 & 1\\
5 & a & -a
\end{array}\right|=-\frac{1}{4}\det D
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สุดท้ายเท่ากับ $-\dfrac14\det D$ แต่เมทริกซ์สุดท้าย คือ เมทริกซ์ $A$ ซึ่งโจทย์กำหนดมาให้ว่ามีดีเทอร์มิแนนต์เป็น $-17$ อยู่แล้ว เราจึงได้ 

\begin{eqnarray*}
-\dfrac{1}{4}\det D & = & -17\\
\det D & = & -17\times\left(-4\right)\\
\det D & = & 68
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\det D=\quad\left| \begin{matrix}  5+2a & 2 & 5\\ 8+a & 2b & a \\ 2-a & 0 & -a \end{matrix} \right|\quad = 68$

[ANS]$68$[/ANS]

วิธีทำโจทย์ข้อนี้ให้เร็วที่สุด คือ หา $\det$ ของเมทริกซ์ $\begin{bmatrix} 1 & b & 0 \\ a & 4 & 1\\ 5 & a &-a\\ \end{bmatrix}$ จะได้

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\det\begin{bmatrix} 1 & b & 0 \\ a & 4 & 1\\ 5 & a &-a\\ \end{bmatrix} &=& -4a+5b-a+a^2b\\
&=& -5a+5b+a^2b\\
\end{eqnarray*}

จากนั้นจับค่า $\det$ ที่ได้ไปเท่ากับ $-17$ ตามที่โจทย์กำหนดให้ แล้วสุ่มแทนค่าตัวแปร $a$ กับ $b$ เช่น แทน $a=1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
-5a+5b+a^2b &=& -17\\
-5(1)+5b+(1)^2b &=& -17\\
-5 + 5b + b &=& -17\\
6b &=& -12\\
b &=& -2
\end{eqnarray*}

ดังนั้นถ้า $a=1$ จ ะได้ $b=-2$

จากนั้นแทนค่า $a=1,b=-2$ ลงในเมทริกซ์ที่โจทย์สั่งให้คำนวณ $\det$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\begin{bmatrix}  5+2a & 2 & 5\\ 8+a & 2b & a \\ 2-a & 0 & -a \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix}  5+2(1) & 2 & 5\\ 8+(1) & 2(-2) & (1) \\ 2-(1) & 0 & -(1) \end{bmatrix}\\
&=& \begin{bmatrix}  7 & 2 & 5\\ 9 & -4 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\\
\end{eqnarray*}

นำเมทริกซ์ที่ได้มาคำนวณ $\det$ ก็จะได้

นั่นคือ 

\begin{eqnarray*}
\det \begin{bmatrix}  7 & 2 & 5\\ 9 & -4 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} &=& 28+2+0 - (-20)-(0) - (-18)\\
&=& 30 + 20 +18\\
&=& 68\\
\end{eqnarray*}

ซึ่งมีค่าเท่ากับวิธีปรกติ แต่ใช้เวลาน้อยกว่ามากๆ