กำหนดให้ $a>1$ และ $\displaystyle L(n) = \log_{2^n} (\sqrt[n]{a})$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, ...$

ถ้า $\displaystyle \frac{1}{L(1)} + \frac{1}{L(2)} + \frac{1}{L(3)} + ... + \frac{1}{L(10)} = 77$ แล้ว จงหาค่าของ $a$

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปลอการิทึม[/STEP]

\begin{eqnarray*}
L(n) &=& \log_{2^n} (\sqrt[n]{a})\\
&=& \log_{2^n} a^{\frac{1}{n}}\\
&=& \frac{\frac{1}{n}}{n} \log_2 a\\
&=& \frac{1}{n^2} \log_2 a
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา $\displaystyle \frac{1}{L(n)}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{L(n)} &=& \frac{1}{\frac{1}{n^2} \log_2 a}\\
&=& n^2 \log_a 2
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาผลบวก[/STEP]

เนื่องจาก $\log_a 2$ เป็นค่าคงตัว เราจงสามารถดึงตัวร่วมออกจาก $\displaystyle \frac{1}{L(n)}$ ได้

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{L(1)} + \frac{1}{L(2)} + \frac{1}{L(3)} + ... + \frac{1}{L(10)} &=& (\log_a 2) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2)
\end{eqnarray*}

ใช้สูตรผลบวก $\displaystyle 1^2 + 2^2 +3^2 + ... + n^2 = \frac{n}{6} (n+1) (2n+1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{L(1)} + \frac{1}{L(2)} + \frac{1}{L(3)} + ... + \frac{1}{L(10)} &=& (\log_a 2) \left( \frac{10}{6} (10+1) [2(10)+1] \right)\\
&=& (\log_a 2) \left( \frac{\cancelto{5}{10}}{\cancelto{3}{6}} (11) (21) \right)\\
&=& (\log_a 2) \left( \frac{5}{\cancelto{1}{3}} (11) (\cancelto{7}{21}) \right)\\
&=& (\log_a 2) (5 \times 11 \times 7)
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $a$[/STEP]

เนื่องจาก $\displaystyle \frac{1}{L(1)} + \frac{1}{L(2)} + \frac{1}{L(3)} + ... + \frac{1}{L(10)} = 77$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(\log_a 2) (5 \times 11 \times 7) &=& 77\\
(\log_a 2) (5 \times \cancel{11 \times 7}) &=& \cancel{77}\\
(\log_a 2) (5) &=& 1\\
\log_a 2 &=& \frac{1}{5}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
a^{\frac{1}{5}} &=& 2\\
a &=& 32
\end{eqnarray*}

[ANS] $32$ [/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลอการิทึม-สมบัติลอการิทึมและการจัดรูป ซัมเมชั่น