กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f: R \rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดค้ลองกับ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{1 + f(x)} - 3} = 6$ และ $1 + f(x) \geq 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ถ้าเส้นตรง $6x - y = 4$ ตัดกับกราฟ $y = f(x)$ ที่ $x=2$ แล้ว ค่าของ $f'(2)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาจุดตัดของเส้นตรง $6x - y = 4$ กับกราฟ $y = f(x)$[/STEP]

เนื่องจาก $6x - y = 4$ ตัดกราฟที่ $x=2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
6(2) - y &=& 4\\
12 - y &=& 4\\
8 &=& y
\end{eqnarray*}

เส้นตรงและกราฟตัดกันที่จุด $(2, 8)$ แสดงว่ากราฟ $y = f(x)$ ผ่านจุด $(2, 8)$ จะได้ $8 = f(2)$

[STEP]พิจารณานิยามของ $f'(2)$[/STEP]

จากนิยาม $\displaystyle f'(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
f'(2) &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - 8}{x - 2}
\end{eqnarray*}

[STEP]จัดรูปลิมิตที่โจทย์ให้[/STEP]

เนื่องจากมีสแควรูท เราจึงจัดรูปโดยการคูณด้วยคอนจูเกต

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{1 + f(x)} - 3} &=& 6\\
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{1 + f(x)} - 3} \cdot \frac{\sqrt{1 + f(x)} + 3}{\sqrt{1 + f(x)} + 3} &=& 6\\
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x^2 + x - 6)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)}{[1 + f(x)] - 9} &=& 6\\
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x - 2)(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)}{f(x) - 8} &=& 6
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยการนำ $x-2$ ไปอยู่กับ $f(x) - 8$ แล้วแยกลิมิต

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)}{\frac{f(x) - 8}{x-2}} &=& 6\\
\frac{\lim_{x \rightarrow 2} \left[(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)\right]}{\lim_{x \rightarrow 2} {\frac{f(x) - 8}{x-2}}} &=& 6
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) - 8}{x - 2} = f'(2)$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{\lim_{x \rightarrow 2} \left[(x+3)(\sqrt{1 + f(x)} + 3)\right]}{f'(2)} &=& 6\\
(2+3)(\sqrt{1 + f(2)} + 3) &=&  6 f'(2)\\
(5)(\sqrt{1+8} + 3) &=& 6 f'(2)\\
(5)(6) &=& 6 f'(2)
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(5)(\cancel{6}) &=& \cancel{6} f'(2)\\
5 &=& f'(2)
\end{eqnarray*}

[ANS]$f'(2) = 5$[/ANS]

ข้อนี้สามารถใช้กฎของโลปิตาลได้เช่นกัน เนื่องจาก $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{1 + f(x)} - 3}$ อยู่ในรูปของ $\displaystyle \frac{0}{0}$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{1 + f(x)} - 3} &=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}(x^2 + x - 6)}{\frac{d}{dx}\left[(1+f(x))^{\frac{1}{2}} - 3\right]}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2x+1}{\frac{1}{2} (1 + f(x))^{-\frac{1}{2}} f'(x)}\\
&=& \lim_{x \rightarrow 2} \frac{2(2x+1) \sqrt{1+f(x)}}{f'(x)}
\end{eqnarray*}

เมื่อแทนค่า $x=2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2(2x+1) \sqrt{1+f(x)}}{f'(x)} &=& \frac{2(4+1) \sqrt{1+f(2)}}{f'(2)}\\
&=& \frac{2(5) \sqrt{1+8}}{f'(2)}\\
&=& \frac{30}{f'(2)}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\frac{30}{f'(2)} &=& 6\\
\frac{30}{6} &=& f'(2)\\
5 &=& f'(2)
\end{eqnarray*}

ความรู้ที่ใช้ : สมการเชิงอนุพันธ์ เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม กฎโลปิตาล