กำหนดให้ $A$ คือเซตคำตอบของสมการ

$\displaystyle 3 \left( 9 + 3^{|x| + |x+4|} \right) = 3^{|x+4|} + 3^{|x| + 4}$

และ $B = \left\{ 59 - x \mid x \in A \right\}$ แล้ว จงหาผลบวกของสมาชิกในเซต $B$ ทุกตัว

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสมการเอกซ์โพเนนเชียล[/STEP]

\begin{eqnarray*}
3 \left( 9 + 3^{|x| + |x+4|} \right) &=& 3^{|x+4|} + 3^{|x| + 4}\\
3 \left( 9 + 3^{|x|} \cdot  3^{|x+4|} \right) &=& 3^{|x+4|} + 3^{|x|} \cdot 3^4
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า ทั้งสองข้างของสมการมี $3^{|x|}$ และ $3^{|x+4|}$ เหมือนกัน

กำหนดตัวแปรใหม่เพื่อให้แก้สมการได้ง่ายขึ้น

ให้ $P = 3^{|x|}$ และ $Q = 3^{|x+4|}$

จะได้สมการ $3(9 +PQ) = Q + 81P$

[STEP]แก้สมการ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
3(9 + PQ) &=& Q + 81P\\
27 + 3 PQ &=& Q + 81P\\
3PQ - 81P - Q + 27 &=& 0
\end{eqnarray*}

สองพจน์แรกดึงตัวร่วม $3P$ ออก และสองพจน์หลังดึง $-1$ ออก จะได้

\begin{eqnarray*}
3P(Q - 27) - (Q - 27) &=& 0\\
(3P - 1)(Q - 27) &=& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle P = \frac{1}{3}$ หรือ $Q = 27$

[STEP]แทนค่า $P$ และ $Q$ กลับ[/STEP]

จาก $\displaystyle P = \frac{1}{3}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
3^{|x|} &=& \frac{1}{3}\\
&=& 3^{-1}\\
|x| &=& -1
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นไปไม่ได้

จาก $Q = 27$ จะได้

\begin{eqnarray*}
3^{|x+4|} &=& 27\\
&=& 3^3\\
|x+4| &=& 3\\
x+4 &=& 3 , -3
\end{eqnarray*}

ดังนั้น จะได้ $x = -1$ หรือ $x = -7$

[STEP]พิจารณาเซต $A$ และ $B$[/STEP]

$A$ เป็นเซตคำตอบ จะได้ว่า $A = \left\{ -1, -7 \right\}$

$B=\left\{59 - x \mid x \in A \right\} = \left\{ 59-(-1), 59-(-7) \right\} = \left\{ 60, 66 \right\}$

ผลบวกของสมาชิกในเซต $B$ เท่ากับ $60 + 66 = 126$

[ANS]126[/ANS]

ข้อนี้ถ้าใช้วิธีการแยกช่วงเพื่อแก้สมการ จะแก้ได้ยากมาก

ความรู้ที่ใช้ : การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์