กำหนดให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \left||{x-1}| - 1\right| < 1$ และ

$B$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \frac{1}{x+1} \geq \frac{2x-2}{x^2 - 3x + 2}$

แล้ว $A \cap B$ เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]หาเซต $A$[/STEP]

\begin{gather*}
&& ||x-1| - 1| &<& 1\\
-1 &<& |x-1| - 1 &<& 1\\
0 &<& |x-1| &<& 2
\end{gather*}

แยกคิด $2$ กรณี คือ $0 < |x-1|$ และ $|x-1| < 2$

กรณีที่ 1

\begin{eqnarray*}
0 &<& |x-1|
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริงเสมอยกเว้นกรณีที่ $x-1 = 0$

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x-1 &\neq& 0\\
x &\neq& 1
\end{eqnarray*}

กรณีที่ 2

\begin{gather*}
&& |x-1| &<& 2\\
-2 &<& x-1 &<& 2\\
-1 &<& x &<& 3
\end{gather*}

นำทั้ง $2$ กรณี มาอินเตอร์เซคกัน จะได้เซต $A$ คือ $A = (-1, 1) \cup (1, 3)$

[STEP]หาเซต $B$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x+1} &\geq& \frac{2x-2}{x^2 - 3x + 2}\\
\frac{1}{x+1} &\geq& \frac{2(x-1)}{(x-2)(x-1)} \;\;\;\;\;\; \text{โดยที่} \; x \neq -1, 1, 2
\end{eqnarray*}

เราสามารถตัด $x-1$ ได้ เนื่องจาก $x-1 \neq 0$ แน่นอน เพราะเป็นตัวส่วน จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x+1} &\geq& \frac{2(\cancel{x-1})}{(x-2)(\cancel{x-1})}\\
\frac{1}{x+1} &\geq& \frac{2}{x-2}\\
\frac{1}{x+1} - \frac{2}{x-2} &\geq& 0
\end{eqnarray*}

ทำตัวส่วนให้เท่ากัน จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{1(x-2)}{(x+1)(x-2)} - \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-2)} &\geq& 0\\
\frac{x-2-2x-2}{(x+1)(x-2)} &\geq& 0\\
\frac{-x-4}{(x+1)(x-2)} &\geq& 0
\end{eqnarray*}

คูณ $-1$ ทั้งสองข้าง กลับเครื่องหมายของอสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{(-1)(-x-4)}{(x+1)(x-2)} &\leq& (-1)(0)\\
\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} &\leq& 0
\end{eqnarray*}

แก้อสมการโดยใช้เส้นจำนวน เนื่องจาก $x \neq -1, 1, 2$ จะได้

ช่วงที่ 1: $x \leq -4$

\begin{eqnarray*}
\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} &\leq& 0\\
\frac{(-)}{(-)(-)} &\leq& 0
\end{eqnarray*}

เป็นจริง ดังนั้นช่วงนี้ใช้ได้

ช่วงที่ 2: $-4 \leq x < -1$

\begin{eqnarray*}
\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} &\leq& 0\\
\frac{(+)}{(-)(-)} &\leq& 0
\end{eqnarray*}

ไม่จริง ดังนั้นช่วงนี้ใช้ไม่ได้

ช่วงที่ 3: $-1 < x < 1$

\begin{eqnarray*}
\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} &\leq& 0\\
\frac{(+)}{(+)(-)} &\leq& 0
\end{eqnarray*}

เป็นจริง ดังนั้นช่วงนี้ใช้ได้

ช่วงที่ 4: $1 < x < 2$

\begin{eqnarray*}
\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} &\leq& 0\\
\frac{(+)}{(+)(-)} &\leq& 0
\end{eqnarray*}

เป็นจริง ดังนั้นช่วงนี้ใช้ได้

ช่วงที่ 5: $x > 2$

\begin{eqnarray*}
\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} &\leq& 0\\
\frac{(+)}{(+)(+)} &\leq& 0
\end{eqnarray*}

ไม่จริง ดังนั้นช่วงนี้ใช้ไม่ได้

จะได้เซตคำตอบคือ

ดังนั้น $B = \left(-\infty, -4 \right] \cup (-1, 1) \cup (1, 2)$

[STEP]หา $A \cap B$[/STEP]

วาดเซต $A$ และ $B$ ลงในเส้นจำนวนเดียวกัน จะได้

อินเตอร์เซคเอาส่วนที่ซ้อนกัน นั่นคือ

ดังนั้น $A \cap B = (-1, 1) \cup (1, 2)$

[STEP]พิจารณาสับเซต[/STEP]

จะเห็นว่า $A \cap B = (-1, 1) \cup (1, 2) \subset (-1, 3)$

[ANS]$(-1, 3)$[/ANS]

การแก้สมการและอสมการ ห้ามตัดตัวแปรถ้าไม่มั่นใจว่ามันมีค่าเป็น $0$ ได้หรือไม่ เช่น

$(x+2)(x-1) = x-1$

กรณีนี้เราไม่สามารถตัด $x-1$ ได้ เนื่องจาก $x-1$ มีโอกาสเป็น $0$

$\displaystyle \frac{x-1}{(x+2)(x-1)} = \frac{1}{2}$

กรณีนี้เราสามารถตัด $x-1$ ได้ เนื่องจาก $x-1$ เป็นตัวส่วน ไม่เป็น $0$ แน่นอน

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการเศษส่วนพหุนาม สับเซตและเพาเวอร์เซต สมบัติของอสมการ การดำเนินการเซต ระบบจำนวนจริง การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์