กำหนดให้ $a,b,c,d$ และ $e$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ ระบบสมการ

$$a+b-4=b+c+5=c+d+1=d+e-2=e+a+3$$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)  $c+e<b+d$

(ข)  $c<b<e<d$

(ค)  $a+d<b+c$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดเท่ากันทีละคู่แล้วจัดรูปสมการ[/STEP]

$a+b-4=b+c+5$

\begin{eqnarray*}
a+\cancel{b}-4 &=& \cancel{b}+c+5\\
a &=& c + 9
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $a > c$

$b+c+5 = c+d+1$

\begin{eqnarray*}
b+\cancel{c}+5 &=& \cancel{c}+d+1\\
b+4 &=& d
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $d > b$

$c+d+1 = d+e-2$

\begin{eqnarray*}
c+\cancel{d}+1 &=& \cancel{d}+e-2\\
c+3 &=& e
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $e > c$

$d+e-2 = e+a+3$

\begin{eqnarray*}
d+\cancel{e}-2 &=& \cancel{e}+a+3\\
d &=& a + 5
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $d > a$

$e+a+3 = a+b-4$

\begin{eqnarray*}
e+\cancel{a}+3 &=& \cancel{a}+b-4\\
e + 7 &=& b
\end{eqnarray*}

แสดงว่า $b > e$

[STEP]จัดให้อยู่ในรูปของตัวแปรเดียวกัน[/STEP]

จากการจับคู่ทั้ง $5$ คู่ เราพอจะสังเกตได้ว่า $c$ เป็นตัวที่มีค่าน้อยที่สุด เราจึงจัดรูปตัวอื่นๆ ให้อยู่ในรูปของ $c$ ดังนี้

จัดรูป $b$

\begin{eqnarray*}
b &=& e + 7\\
&=& (c+3) + 7\\
&=& c + 10
\end{eqnarray*}

จัดรูป $d$

\begin{eqnarray*}
d &=& a+5\\
&=& (c+9)+5\\
&=& c + 14
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
a &=& c+9\\
b &=& c+10\\
d &=& c+14\\
e &=& c+3
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา (ก)[/STEP]

\begin{eqnarray*}
c + e &<& b + d\\
c + (c+3) &<& (c+10) + (c+14)\\
2c + 3 &<& 2c  +24\\
3 &<& 24
\end{eqnarray*}

เป็นจริง ดังนั้น (ก) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ข)[/STEP]

\begin{gather*}
c &<& b &<& e &<& d\\
c &<& c+10 &<& c+3 &<& c+14
\end{gather*}

ไม่จริง ดังนั้น (ข) ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ค)[/STEP]

\begin{eqnarray*}
a+d &<& b+c\\
(c+9) + (c+14) &<& (c+10) + c\\
2c + 23 &<& 2c + 10\\
23 &<& 10
\end{eqnarray*}

ไม่จริง ดังนั้น (ค) ไม่ถูกต้อง

[ANS] (ก) ถูกเพียงข้อเดียว [/ANS]