กำหนดอสมการข้อจำกัด

\begin{eqnarray*}
x+2y &\leq& 4,\\
x-y &\leq& 1, \\
x+y &\geq& 1,
\end{eqnarray*}

$x\geq0$ และ $y\geq0$ แล้วภายใต้อสมการข้อจำกัดเหล่านี้ สมการจุดประสงค์ในข้อใดมีค่าสูงสุดมากที่สุด

เฉลยละเอียด

[STEP]วาดกราฟจากอสมการข้อจำกัด[/STEP]

ก่อนที่จะวาดกราฟของอสมการ เราจะวาดกราฟของสมการเส้นตรงเสียก่อน

พิจารณาเส้นตรง $x + 2y = 4$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x + 0 &=& 4\\
x &=& 4
\end{eqnarray*}

แสดงว่า ตัดแกน $X$ ที่จุด $(4, 0)$

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
0 + 2y &=& 4\\
2y &=& 4\\
y &=& 2
\end{eqnarray*}

แสดงว่า ตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0, 2)$

พิจารณาเส้นตรง $x - y = 1$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x - 0 &=& 1\\
x &=& 1
\end{eqnarray*}

แสดงว่า ตัดแกน $X$ ที่จุด $(1, 0)$

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
0 - y &=& 1\\
- y &=& 1\\
y &=& -1
\end{eqnarray*}

แสดงว่า ตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0, -1)$

พิจารณาเส้นตรง $x + y = 1$

หาจุดตัดแกน $X$ ให้ $y=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x + 0 &=& 1\\
x &=& 1
\end{eqnarray*}

แสดงว่า ตัดแกน $X$ ที่จุด $(1, 0)$

หาจุดตัดแกน $Y$ ให้ $x=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
0 + y &=& 1\\
y &=& 1\\
\end{eqnarray*}

แสดงว่า ตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0, 1)$

[STEP]วาดกราฟ[/STEP]

เมื่อให้เส้นตรง $x + 2y = 4, x - y = 1$ และ $x + y = 1$ แทนเส้นสีฟ้า เขียว และส้ม ตามลำดับ จะได้

พิจารณาอสมการ

$x + 2y \leq 4$ แสดงว่าต้องการพื้นที่ใต้เส้นสีฟ้า

$x - y \leq 1$ แสดงว่าต้องการพื้นที่เหนือเส้นสีเขียว

$x + y \geq 1$ แสดงว่าต้องการพื้นที่เหนือเส้นสีส้ม

เงื่อนไข $x \geq 0$ และ $y \geq 0$ หมายความว่าเราสนใจเฉพาะจตุภาคที่ $1$ จะได้พื้นที่ส่วนที่ทับซ้อนกันคือ

จุดที่เราจะนำมาพิจารณาค่าสูงสุดคือจุด $(1, 0), (0,1), (0, 2)$ และอีกจุดหนึ่งคือจุดตัดของเส้นสีฟ้าและเขียว

หาพิกัดจุดตัดดังกล่าว ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นตรง $x + 2y = 4$ และ $x - y = 1$

กำหนดสมการ

\begin{eqnarray*}
x + 2y &=& 4 &----& (1)\\
x - y &=& 1 &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำ $(1) - (2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(x + 2y) - (x - y) &=& 4 - 1\\
3y &=& 3\\
y &=& 1
\end{eqnarray*}

แทนในสมการ $(2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x - 1 &=& 1\\
x &=& 2
\end{eqnarray*}

แสดงว่าจุดตัดดังกล่าวมีพิกัด $(2, 1)$

[STEP]พิจารณาตัวเลือก[/STEP]

ตัวเลือก A:  สมการจุดประสงค์ $P = 2x + 2y$

  $P = 2x + 2y$
$(1, 0)$ $P = 2(1) + 2(0) = 2$
$(0, 1)$ $P = 2(0) + 2(1) = 2$
$(0, 2)$ $P = 2(0) + 2(2) = 4$
$(2, 1)$ $P = 2(2) + 2(1) = 4 + 2 = 6$

ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $P = 6$

ตัวเลือก B:  สมการจุดประสงค์ $P = 3x + 2y$

  $P = 3x + 2y$
$(1, 0)$ $P = 3(1) + 2(0) = 3$
$(0, 1)$ $P = 3(0) + 2(1) = 2$
$(0, 2)$ $P = 3(0) + 2(2) = 4$
$(2, 1)$ $P = 3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8$

ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $P = 8$

ตัวเลือก C:  สมการจุดประสงค์ $P = 2x + 3y$

  $P = 2x + 3y$
$(1, 0)$ $P = 2(1) + 3(0) = 2$
$(0, 1)$ $P = 2(0) + 3(1) = 3$
$(0, 2)$ $P = 2(0) + 3(2) = 6$
$(2, 1)$ $P = 2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$

ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $P = 7$

ตัวเลือก D:  สมการจุดประสงค์ $P = x + 4y$

  $P = x + 4y$
$(1, 0)$ $P = 1 + 4(0) = 1$
$(0, 1)$ $P = 0 + 4(1) = 4$
$(0, 2)$ $P = 0 + 4(2) = 8$
$(2, 1)$ $P = 2 + 4(1) = 2 + 4 = 6$

ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $P = 8$

ตัวเลือก E:  สมการจุดประสงค์ $P = 4x + y$

  $P = 4x + y$
$(1, 0)$ $P = 4(1) + 0 = 4$
$(0, 1)$ $P = 4(0) + 1 = 1$
$(0, 2)$ $P = 4(0) + 2 = 2$
$(2, 1)$ $P = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9$

ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $P = 9$

ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $9$ เกิดจากสมการจุดประสงค์ในข้อ E $P = 4x + y$

[ANS]$P = 4x + y$[/STEP]

ข้อนี้ไม่ได้ยากเลย แต่ต้องคิดค่อยข้างเยอะ เรียกข้อถึกก็ว่าได้ พยายามฝึกการหาจุดตัดแกน $X$ และ $Y$ โดยการคำนวณในใจให้ได้ จะช่วยให้ทำได้เร็วขึ้นเยอะ