กำหนดให้ $I$ แทนเซตของจำนวนเต็ม และ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า

$$r=\left\{ (x,y) \in R\times R \mid y=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{4-x}-\sqrt{2x+1}} \right\}$$

และ $A=\left\{ x^2 \mid x\in I \cap D_r \right\}$ แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $D_r$[/STEP]

จาก  $\displaystyle y=\frac{x^2+2}{\sqrt{4-x}-\sqrt{2x+1}}$

จะหาค่า $y$ ได้ เมื่อ $4-x \geq 0, 2x+1 \geq 0$ และ $\sqrt{4-x}-\sqrt{2x+1} \neq 0$

จาก $4-x \geq 0$ จะได้ $x \leq 4$

จาก $2x+1 \geq 0$ จะได้ $\displaystyle x \geq -\frac{1}{2}$

จาก $\sqrt{4-x}-\sqrt{2x+1} \neq 0$ จะเห็นว่า $\sqrt{4-x}-\sqrt{2x+1} = 0$ เมื่อ

\begin{eqnarray*}
\sqrt{4-x} &=& \sqrt{2x+1}\\
4-x &=& 2x+1\\
3 &=& 3x\\
1 &=& x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $x \neq 1$

[STEP]หา $D_r$[/STEP]

เราจะได้ว่า $D_r$ คือ $x \leq 4$ และ $\displaystyle x \geq -\frac{1}{2}$ และ $x \neq 1$

นั่นคือ $\displaystyle D_r = \left[ -\frac{1}{2} , 1 \right) \cup \left(1, 4\right]$

[STEP]หาเซต $A$[/STEP]

จะได้ว่า $I \cap D_r = \{ 0, 2, 3, 4 \}$

ดังนั้น $A = \{ 0^2 , 2^2 , 3^2 , 4^2 \} = \{ 0, 4, 9, 16 \}$

ผลบวกของสมาชิกในเซต $A$ เท่ากับ $0 + 4 + 9 + 16 = 29$

[ANS]$29$[/ANS]