กำหนดลำดับ $a_n = \dfrac{1+2+2^2+2^3+\cdots + 2^n}{3^{2n}}\quad$ เมื่อ $n=1,2,3,\cdots\quad$ แล้วค่าของ

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left( a_1 + a_2 + a_3 +\cdots + a_n \right) $$

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $a_n$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย[/STEP]

พิจารณา  $a_n = \dfrac{1+2+2^2+2^3+\cdots + 2^n}{3^{2n}}$ แล้วพบว่าตรงเศษเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น $r=2$ เราจึงใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตจำกัด $S_n = \dfrac{a_1 - a_{ถัดจากตัวสุดท้าย}}{1-r}$ หาผลรวมของ $1+2+2^2 +2^3 +\cdots + 2^n$ จะได้

\begin{eqnarray*}
1+2+2^2+2^3 + \cdots + 2^n &=& \frac{1-2^{n+1}}{1-2}\\
&=& \frac{1-2^{n+1}}{-1}\\
&=& 2^{n+1} - 1
\end{eqnarray*}

เมื่อแทนค่าลงใน $a_n$ ก็จะได้

\begin{eqnarray*}
a_n &=& \frac{1+2+2^2+2^3+\cdots + 2^n}{3^{2n}}\\
&=& \frac{2^{n+1}-1}{3^{2n}}
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $a_n = \frac{2^{n+1}-1}{3^{2n}}$

[STEP]คำนวณ $\lim (a_1 + a_2 + a_3 +\cdots +a_n)$[/STEP]

สิ่งที่โจทย์ให้เราคำนวณ คือ ลิมิตของผลบวกย่อย $S_n = a_1 + a_2 + a_3 +\cdots + a_n$ หรือผลรวมอนุกรมอนันต์

\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n) &=& \lim_{n\rightarrow\infty} \left(S_n \right)\\
&=& \sum_{n=1}^{\infty} a_n
\end{eqnarray*}

แทนรูปทั่วไปอย่างง่ายของ $a_n = \frac{2^{n+1}-1}{3^{2n}}$ จากขั้นตอนที่แล้วลงไป

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n &=& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}-1}{3^{2n}}\\
&=& \sum_{n=1}^{\infty} \left(  \frac{2^{n+1}}{3^{2n}} -  \frac{1}{3^{2n}}  \right)\\
&=& \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{3^{2n}} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{2n}}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเราแยก $\sum a_n$ ออกเป็น $\sum$ สองพจน์ เนื่องจากเมื่อแยกแล้ว แต่ละพจน์เป็นอนุกรมเรขาคณิตซึ่งคำนวณผลรวมอนันต์ได้ง่ายนั่นเอง

คำนวณผลรวมอนันต์ของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2^{n+1}}{3^{2n}}$
จัดรูปให้เห็นชัดเจนว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตแล้วหาอัตราส่วนร่วม

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{3^{2n}} &=& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n\cdot 2^1}{\left(3^2\right)^n}\\
&=& \sum_{n=1}^{\infty} 2\frac{2^n}{9^n}\\
&=& \sum_{n=1}^{\infty} 2\left( \frac29\right)^n
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น $r=\dfrac29$ ซึ่ง $\left| r \right| = \dfrac29 <1$ จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า โดยที่มี $a_1 = 2\left(\dfrac29\right) = \dfrac49$

ใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ $S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1-r}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{3^{2n}}  &=& \frac{\frac49}{1-\frac29}\\
&=& \frac{\frac49}{\frac79}\\
&=& \frac49\times \frac97\\
&=& \frac47
\end{eqnarray*}

คำนวณผลรวมอนันต์ของ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{2n}}$

จัดรูปหาอัตราส่วนร่วมและ $a_1$

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{2n}} &=& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(3^2\right)^n}\\
&=& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9^n}
\end{eqnarray*}

จึงเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $r=\dfrac19$ และ $\left| r \right| =\dfrac19 <1$ ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า และมี $a_1 = \dfrac19$

นำอัตราส่วนร่วมและ $a_1$ แทนค่าในสูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{2n}} &=& \frac{\frac19}{1-\frac19}\\
&=& \frac{\frac19}{\frac89}\\
&=& \frac19\times\frac98\\
&=& \frac18
\end{eqnarray*}

นำผลรวมอนุกรมเรขาคณิตทั้งสองพจน์มาลบกัน

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{3^{2n}} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{2n}} &=& \frac47 - \frac18\\
&=& \frac47\times\frac88 - \frac18\times\frac77\\
&=& \frac{32}{56} - \frac{7}{56}\\
&=& \frac{25}{56} \\
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1 + a_2 +a_3 +\cdots +a_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{25}{56}$

[ANS]$\dfrac{25}{56}$[/ANS]

สาเหตุสำคัญที่เราเลือกใช้สูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตจำกัดเป็น $ S_n = \dfrac{a_1 - a_{ถัดจากตัวสุดท้าย}}{1-r}$ แทนที่จะใช้สูตร $S_n = \dfrac{a_1 - a_1 \cdot r^n}{1-r}$ ก็เพราะว่ามีโอกาสสูงที่น้องๆ อาจจะนับจำนวนพจน์ของอนุกรม $1+2+2^2+2^3+\cdots + 2^n$ ผิด หรือพูดให้ชัด คือ หลายคนอาจเข้าใจผิดว่าอนุกรม $1+2+2^2+2^3+\cdots +2^n$ มี $n$ พจน์แล้วใช้สูตร $\cancel{S_n = \dfrac{a_1 - a_1 \cdot r^n}{1-r} = \dfrac{1-1\cdot2^n}{1-2}}$ ซึ่งที่จริงแล้วอนุกรมนี้มี $n+1$ พจน์ ถ้าจะใช้สูตรหลังก็ต้องเป็น $S_n= \dfrac{1-1\cdot 2^{n+1}}{1-2}$ จึงจะถูก