คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปรกติ โดยมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้เท่ากับ $25\%$ และมีนักเรียนร้อยละ $15.87$ ที่สอบได้คะแนนมากกว่า $85$ คะแนน

ถ้านาย ก เป็นนักเรียนคนหนึ่งในห้องนี้ สอบได้คะแนน $47.6$ คะแนน คะแนนของเขาจะตรงกับตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด

กำหนดพื้นที่ใต้โค้งปรกติ ระหว่าง $0$ ถึง $z$ ดังนี้

$z$ $0.4$ $0.9$ $1.0$ $1.1$ $1.2$ $1.3$
พื้นที่ $0.1554$ $0.3159$ $0.3413$ $0.3643$ $0.3849$ $0.4032$

 

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาข้อมูลจากโจทย์[/STEP]

สัมประสิทธิ์การแปรผันเท่ากับ $25\%$ แสดงว่า $$\displaystyle C.V. = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$$

จากสูตรของ $C.V.$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
\frac{S.D.}{\bar{x}} &=& \frac{1}{4}\\
4 S.D. &=& \bar{x} \;\;----\;(1)
\end{eqnarray*}

นักเรียนร้อยละ $15.87$ สอบได้คะแนนมากกว่า $85$ คะแนน สามารถวาดเส้นโค้งปกติได้ดังนี้

พื้นที่จาก $z=0$ ถึง $85$ คะแนน เป็น $0.3413$ จากตารางจะได้ว่า $85$ คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐาน $z=1.0$

จากสูตรของ $z$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
z &=& \frac{x - \bar{x}}{S.D}\\
1 &=& \frac{85 - \bar{x}}{S.D}\\
S.D. &=& 85 - \bar{x}\\
\bar{x} &=& 85 - S.D. \;\;----\;(2)
\end{eqnarray*}

จากสมการ $(1)$ และ $(2)$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
4S.D. &=& 85 - S.D.\\
5 S.D. &=& 85\\
S.D. &=& 17
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$ จะได้ $\displaystyle \bar{x} = 4(17) = 68$

[STEP]พิจารณาคะแนนของนาย ก[/STEP]

นาย ก สอบได้ $47.6$ คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐาน

\begin{eqnarray*}
z &=& \frac{x - \bar{x}}{S.D.}\\
&=& \frac{47.6 - 68}{17}\\
&=& \frac{-20.4}{17}\\
&=& -1.2
\end{eqnarray*}

วาดเป็นเส้นโค้งปกติได้ดังนี้

พื้นที่จาก $z=0$ ถึง $z=-1.2$ เท่ากับ $0.3849$

ดังนั้น พื้นที่เมื่อวัดจาก $P_0$ ถึง $z=-1.2$ จึงเป็น $0.1151$

หรือคิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ $11.51$ นั่นเอง

[ANS]เปอร์เซ็นไทล์ที่ $11.51$[/ANS]