ข้อมูลชุดที่ $1$ คือ $x_1 + 4 , x_2 + 4 , ... , x_{20} + 4$ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น $50$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $10$

ข้อมูลชุดที่ $2$ คือ $2x_1 + 4 , 2x_2 + 4 , ... , 2x_{20} + 4$ จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ $2$[/STEP]

ข้อมูลชุดที่ $2$ คือ $2x_1 + 4 , 2x_2 + 4 , ... , 2x_{20} + 4$ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

\begin{eqnarray*}
{\bar{x}}_2 &=& \frac{(2x_1 + 4) + (2x_2 + 4) + (2x_3 + 4) + ... + (2x_{20} + 4)}{20}\\
&=& \frac{(2x_1 + 8) - 4 + (2x_2 + 8) - 4 + (2x_3 + 8) - 4 + ... + (2x_{20} + 8) - 4}{20}\\
&=& \frac{2(x_1 + 4) + 2(x_2 + 4) + 2(x_3 + 4) + ... + 2(x_{20} + 4) - (20)(4)}{20}\\
&=& \frac{2[(x_1 + 4) + (x_2 + 4) + (x_3 + 4) + ... (x_{20} + 4)]}{20} - \frac{80}{20}
\end{eqnarray*}

เราสามารถจัดรูปได้เป็น

\begin{eqnarray*}
{\bar{x}}_2 &=& 2\frac{(x_1 + 4) + (x_2 + 4) + (x_3 + 4) + ... (x_{20} + 4)}{20} - 4
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $\displaystyle \frac{(x_1 + 4) + (x_2 + 4) + (x_3 + 4) + ... (x_{20} + 4)}{20}$ คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ $1$ เท่ากับ $50$ จะได้

\begin{eqnarray*}
{\bar{x}}_2 &=& 2(50) - 4\\
&=& 100 - 4\\
&=& 96
\end{eqnarray*}

[STEP]หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ $2$[/STEP]

เราจะใช้สมบัติที่ว่า

  1. ถ้านำค่าคงตัว $k$ ไปบวกหรือลบข้อมูลทุกตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่าเดิมไม่เปลี่ยนแปลง
  2. ถ้านำค่าคงตัว $k$ ไปคูณข้อมูลทุกตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับ $|k|$ เท่าของค่าเดิม

จากข้อมูล $$x_1 + 4 , x_2 + 4 , ... , x_{20} + 4$$ มี $S.D. = 10$

นำค่าคงตัว $2$ ไปลบออกจากข้อมูลทุกตัว $$x_1 + 4 - 2 , x_2 + 4 - 2 , ... , x_{20} + 4 - 2$$

 จะได้ข้อมูล $$x_1 + 2 , x_2 + 2 , ... , x_{20} + 2$$ มี $S.D. = 10$ เหมือนเดิม

นำค่าคงตัว $2$ ไปคูณกับข้อมูลทุกตัว $$2(x_1 + 2) , 2(x_2 + 2) , ... , 2(x_{20} + 2)$$

จะได้ข้อมูล $$2x_1 + 4 , 2x_2 + 4 , ... , 2x_{20} + 4$$ มี $S.D. = |2|(10) = 20$

ดังนั้น ข้อมูลชุดที่ $2$ มี $S.D. = 20$ ความแปรปรวน $S^2 = 400$

[ANS]ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น $96$ และความแปรปรวนเท่ากับ $400$[/ANS]

ข้อนี้จะใช้วิธีคิดตรงๆ โดยหาค่า $\displaystyle \sum_{i=1}^{20} x_i$ แล้วไปหา $\bar{x}$ กับ $S.D.$ ตามสูตรก็ได้ แต่จะใช้เวลามาก

ความรู้ที่ใช้ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวนและสัมประสิทธิ์การแปรผัน