กำหนดลำดับ $a_n = \dfrac{n\cdot 2^{3n}}{3^{2n+1}}$ เมื่อ $n=1,2,3,\cdots\quad$ แล้วอนุกรม $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n $ เป็นอนุกรมที่ตรงกับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูป $a_n=\frac{n\cdot 2^{3n}}{3^{2n+1}}$ ให้เห็นว่าเป็นลำดับเรขาคณิตคูณกับลำดับเลขคณิต[/STEP]

ดึงเลขชี้กำลังที่เป็นค่าคงตัวออก แล้วปรับให้เลขชี้กำลังเป็น $n$ ตัวเดียว

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & \frac{n\cdot2^{3n}}{3^{2n+1}}\\
 & = & n\cdot\dfrac{\left(2^{3}\right)^{n}}{\left(3^{2}\right)^{n}\cdot3^{1}}\\
 & = & \dfrac{n}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{n}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า $a_n$ เป็นลำดับที่เกิดจากการคูณกันของลำดับเลขคณิต $\dfrac{n}{3}$ กับลำดับเรขาคณิต $\left(\dfrac{8}{9}\right)^n$ โดยที่อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต คือ $r=\dfrac89$ ซึ่ง $\left| r \right| = \dfrac89 <1$ จึงทำให้ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ เป็นอนุกรมลู่เข้า โดยในการหาผลรวมอนันต์จะต้องใช้เทคนิคการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิต

[STEP]ใช้เทคนิคการพิสูจน์ผลรวมอนุกรมเรขาคณิตหาผลรวม $\sum a_n$[/STEP]

แทนค่า $a_n = \dfrac{n}{3} \cdot \left( \dfrac89 \right)^n$ ลงใน $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ แล้วกระจายพจน์แรกๆ ของ $\sum a_n$ ออกมา

\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} & = & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{n}\\
 & = & \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{3}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots
\end{eqnarray*}

กำหนดให้

$$S= \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{3}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots$$

จากนั้นใช้เทคนิคการพิสูจน์อนุกรมเรขาคณิต โดยการคูณด้วย $r=\dfrac89$ ตลอดสมการด้านบน จะได้

\begin{eqnarray*}
S &=&  \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{1} + &\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{3}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots\\
\frac{8}{9}S  &= & &\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{3}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots
\end{eqnarray*}

สังเกตว่าเราขยับทุกพจน์ในบรรทัดที่ $2$ เยื้องไปด้านขวา $1$ พจน์ เพื่อให้ไปตรงกับพจน์ในบรรทัดที่ $1$ ที่มีเลขชี้กำลังของ $\left(\frac89\right)$ เท่าๆ กัน ซึ่งจะทำให้เรานำบรรทัดที่ $1$ ลบด้วยบรรทัดที่ $2$ ได้ง่าย ดังนี้

\begin{eqnarray*}
S-\frac{8}{9}S & = & \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots\\
\left(1-\frac{8}{9}\right)S & = & \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots\\
\frac{1}{9}S & = & \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าด้านขวาจะเหลือเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น $r=\dfrac89$ เท่าเดิม ซึ่ง $\left| r \right| = \dfrac89 <1$ จึงเป็นอนุกรมลู่เข้า เราจึงคำนวณพจน์แรกเพื่อนำไปใช้ในสูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ได้เป็น $a_1 = \dfrac13\cdot\left( \dfrac89 \right)^1 = \dfrac{8}{27}$ จากนั้นเราจึงหาผลรวมอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ด้านขวามือโดยใช้สูตร $S_{\infty} = \dfrac{a_1}{1-r}$

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{9}S & = & \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{1}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{2}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{3}+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^{4}+\cdots\\
\frac{1}{9}S & = & \frac{\frac{8}{27}}{1-\frac{8}{9}}\\
\frac{1}{9}S & = & \frac{8}{27}\cdot\frac{9}{1}\\
\frac{1}{9}S & = & \frac{8}{3}
\end{eqnarray*}

จากนั้นย้าย $\dfrac19$ ไปหารด้านขวามือ

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{9}S & = & \frac{8}{3}\\
S & = & \frac{8}{3}\times\frac{9}{1}\\
S & = & 24
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 24$

[ANS]อนุกรม $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ $24$[/ANS]