ให้ $A, B$ และ $C$ เป็นเซตใดๆ โดยที่ $A\cap(B\cup C)'=\emptyset$ เมื่อ $A'$ หมายถึงคอมพลีเมนท์ของเซต $A$

ถ้า $n(A)=12, n(B)=15, n(C)=16, n(A\cup B \cup C)=20$ และ $n(A\cap B) = n(B\cap C) = n(A\cap C)$ แล้ว ข้อใดไม่ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $A \cap (B \cup C)' = \emptyset$[/STEP]

จากสูตร $A \cap B' = A - B$ จะได้ว่า

$A \cap (B \cup C)' = A - (B \cup C)$ ซึ่งเป็นเซตว่าง แสดงว่าจำนวนสมาชิกเท่ากับ $0$

จาก $n(A-B) = n(A) - n(A \cap B)$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
n[A - (B \cup C)] &=& n(A) - n[A \cap (B \cup C)]\\
0 &=& 12 - n[A \cap (B \cup C)]\\
n[A \cap (B \cup C)] &=& 12
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณา $n[A \cap (B \cup C)]$[/STEP]

จาก $A \cap (B \cup C)$ แจกแจงจะได้ $(A \cap B) \cup (A \cap C)$

ใช้สูตรการหาจำนวนสมาชิก $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
n[(A \cap B) \cup (A \cap C)] &=& n(A \cap B) + n(A \cap C) - n[(A \cap B) \cap (A \cap C)]\\
12 &=& n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)
\end{eqnarray*}

ให้ $n(A\cap B) = n(B\cap C) = n(A\cap C) = x$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
12 &=& 2x - n(A \cap B \cap C)  \;\;\;\;\;\;\; ---- (1)
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $n(A \cap B \cap C)$[/STEP]

จากสูตรการหาจำนวนสมาชิก

\begin{eqnarray*}
n(A \cup B \cup C) &=& n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n (B \cap C) + n(A \cap B \cap C)\\
20 &=& 12 + 15 + 16 -  x - x - x + n(A \cap B \cap C)\\
20 &=& 43 - 3x + n(A \cap B \cap C)\\
3x - 23 &=& n(A \cap B \cap C)
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $x$[/STEP]

แทน $n(A \cap B \cap C) = 3x - 23$ ในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
12 &=& 2x - (3x - 23)\\
12 &=& -x + 23\\
x &=& 23 - 12\\
x &=& 11
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาตัวเลือก[/STEP]

ตัวเลือก A

\begin{eqnarray*}
n(A \cap B \cap C) &=& 3x - 23\\
&=& 3(11) - 23\\
&=& 33 - 23\\
&=& 10
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก A ถูกต้อง

ตัวเลือก B

\begin{eqnarray*}
n(A \cap B) &=& x\\
&=& 11
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก B ถูกต้อง

ตัวเลือก C

\begin{eqnarray*}
n(A' \cap B) &=& n(B \cap A')\\
&=& n(B - A)\\
&=& n(B) - n(B \cap A)\\
&=& 15 - 11\\
&=& 4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก C ถูกต้อง

ตัวเลือก D

\begin{eqnarray*}
n((A \cup B) \cap C) &=& n((A \cap C) \cup (B \cap C))\\
&=& n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)\\
&=& 11 + 11 - 10\\
&=& 12
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก D ถูกต้อง

ตัวเลือก E

\begin{eqnarray*}
n((A \cup B)' \cap C) &=& n(C \cap (A \cup B)')\\
&=& n(C - (A \cup B))\\
&=& n(C) - n(C \cap (A \cup B))
\end{eqnarray*}

แต่ $n(C \cap (A \cup B)) = 12$ (จากตัวเลือก D) จะได้

\begin{eqnarray*}
n((A \cup B)' \cap C) &=& 16 - 12\\
&=& 4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ตัวเลือก E ไม่ถูกต้อง

สูตรผลต่างที่ใช้บ่อย

$A - B = A \cap B'$

$n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$

ความรู้ที่ใช้ : การดำเนินการเซต