กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ

$$(1+i) \bar{z} - \dfrac{(9-7i)(\bar{z}-z)}{3+i} = 6-2i $$

เมื่อ $\bar{z}$ แทนสังยุค(conjugate) ของ $z$ และ $i^2 = -1$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $\left| z+8 \right| = 2$
(ข) $\left| z + 3i \right| = 10$
(ค) $\left| iz + 2 \right| = 8$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการ[/STEP]

จาก $\displaystyle (1+i) \bar{z} - \dfrac{(9-7i)(\bar{z}-z)}{3+i} = 6-2i$

จัดรูป $\displaystyle \frac{9-7i}{3+i}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{9-7i}{3+i} &=& \frac{9-7i}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i}\\
&=& \frac{27 - 9i - 21i + 7i^2}{9 - i^2}\\
&=& \frac{27 - 30i - 7}{9 - (-1)}\\
&=& \frac{20 - 30i}{10}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle \frac{9-7i}{3+i} = \frac{2\cancel{0} - 3\cancel{0}i}{\cancel{10}} = 2 - 3i$

แทนกลับในสมการ จะได้

\begin{eqnarray*}
(1+i) \bar{z} - (2 - 3i)(\bar{z}-z) &=& 6-2i\\
(1+i) \bar{z} - (2 - 3i) \bar{z} + (2 - 3i)z &=& 6 - 2i\\
(-1 + 4i) \bar{z} + (2 - 3i) z &=& 6 - 2i
\end{eqnarray*}

กำหนดให้ $z = x + yi$ จะได้ $\bar{z} = x - yi$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
(-1 + 4i)(x - yi) + (2 - 3i)(x + yi) &=& 6 - 2i\\
-x  +yi + 4xi + 4y + 2x + 2yi - 3xi + 3y &=& 6 - 2i\\
(-x + 4y + 2x + 3y) + (y + 4x + 2y - 3x)i &=& 6 - 2i\\
(x + 7y) + (x + 3y)i &=& 6 - 2i
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
x + 7y &=& 6 &----&(1)
\end{eqnarray*}

และ

\begin{eqnarray*}
x + 3y &=& -2 &----&(2)
\end{eqnarray*}

[STEP]แก้ระบบสมการ[/STEP]

จาก

\begin{eqnarray*}
x + 7y &=& 6 &----& (1)\\
x + 3y &=& -2 &----& (2)
\end{eqnarray*}

นำ $(1) - (2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(x + 7y) - (x + 3y) &=& 6 - (-2)\\
4y &=& 8\\
y &=& 2
\end{eqnarray*}

แทนค่าใน $(1)$

\begin{eqnarray*}
x + 7(2) &=& 6\\
x + 14 &=& 6\\
x &=& -8
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $z = -8 + 2i$

[STEP]พิจารณา (ก)[/STEP]

\begin{eqnarray*}
|z + 8| &=& |-8 + 2i + 8|\\
&=& |2i|\\
&=& 2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ก) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ข)[/STEP]

\begin{eqnarray*}
|z + 3i| &=& |-8 + 2i + 3i|\\
&=& |-8 + 5i|\\
&=& \sqrt{64 + 25}\\
&=& \sqrt{89}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ข) ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ค)[/STEP]

\begin{eqnarray*}
|iz + 2| &=& |i(-8 + 2i) + 2|\\
&=& |-8i - 2 + 2|\\
&=& |-8i|\\
&=& 8
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ค) ถูกต้อง

[ANS]ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด[/ANS]