กำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่

$$f(x)=\begin{cases}
\sqrt{9-x}&,x\leq0\\
7-x&,x>4
\end{cases}$$

และ

$$g(x)=\begin{cases}
x+2&,x<1\\
x-4&,x\geq1
\end{cases}$$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)  ถ้า $x\leq0$ แล้ว $\left(g\circ f\right)(x)=\sqrt{9-x}-4$

(ข)  ถ้า $4<x\leq6$ แล้ว $\left(g\circ f\right)(x)=3-x$

(ค)  ถ้า $x>6$ แล้ว $\left(g\circ f\right)(x)=9-x$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา (ก)[/STEP]

เนื่องจาก $x \leq 0$ ดังนั้น $f(x) = \sqrt{9-x}$

จะได้

\begin{eqnarray*}
(g \circ f)(x) &=& g(f(x))\\
&=& g(\sqrt{9-x})
\end{eqnarray*}

พิจารณาค่าของ $\sqrt{9-x}$

\begin{eqnarray*}
x &\leq& 0\\
-x &\geq& 0\\
9-x &\geq& 9\\
\sqrt{9-x} &\geq& 3
\end{eqnarray*}

เราจึงต้องใช้ $g(x) = x-4$ จะได้

\begin{eqnarray*}
g(\sqrt{9-x}) &=& \sqrt{9-x} - 4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ก) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ข)[/STEP]

เนื่องจาก $4 < x \leq 6$ ดังนั้น $f(x) = 7-x$

จะได้

\begin{eqnarray*}
(g \circ f)(x) &=& g(f(x))\\
&=& g(7-x)
\end{eqnarray*}

พิจารณาค่าของ $7-x$

\begin{gather*}
4 &<& x &\leq& 6\\
-6 &\leq& -x &<& -4\\
7-6 &\leq& 7-x &<& 7-4\\
1 &\leq& 7-x &<& 3
\end{gather*}

เราจึงต้องใช้ $g(x) = x-4$ จะได้

\begin{eqnarray*}
g(7-x) &=& (7-x) - 4\\
&=& 3 - x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ข) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ค)[/STEP]

เนื่องจาก $x > 6$ ดังนั้น $f(x) = 7-x$

จะได้

\begin{eqnarray*}
(g \circ f)(x) &=& g(f(x))\\
&=& g(7-x)
\end{eqnarray*}

พิจารณาค่าของ $7-x$

\begin{eqnarray*}
x &>& 6\\
-x &<& -6\\
7-x &<& 7-6\\
7-x &<& 1
\end{eqnarray*}

เราจึงต้องใช้ $g(x) = x+2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
g(7-x) &=& (7-x)+2\\
&=& 9 - x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น (ค) ถูกต้อง

[ANS] (ก) , (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ[/ANS]