ในการจัดแถวนักเรียนชาย $4$ คน และนักเรียนหญิง $4$ คน มายืนเรียงเป็นแถวตรงเพียงหนึ่งแถว ความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนชายสองคนใดเลยยืนติดกัน หรือ ไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดเลยยืนติดกันมีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาสิ่งที่โจทย์ถาม[/STEP]

โจทย์ต้องการความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนชายสองคนใดยืนติดกันหรือไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยืนติดกัน คำว่าหรือ เทียบได้กับการยูเนี่ยน

สมมุติให้ $P(A)$ แทนความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนชายสองคนใดยืนติดกัน

และ $P(B)$ แทนความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยืนติดกัน

จะได้ว่าสิ่งที่โจทย์ถามคือ $P(A \cup B)$ ซึ่งหาได้จาก $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

[STEP]หาจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซ[/STEP]

นักเรียนชาย $4$ คน และนักเรียนหญิง $4$ คน เรียงเป็นแถวตรง จะได้ $8!$ วิธี

ดังนั้น $n(S) = 8!$

[STEP]หา $P(A)$[/STEP]

$P(A)$ แทนความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนชายสองคนใดยืนติดกัน

เราจะใช้วิธีการให้นักเรียนหญิงยืนเรียงแถวก่อน จะได้ $4! = 24$ วิธี

จากนั้นนำนักเรียนชายไปแทรกช่องว่างระหว่างนักเรียนหญิง ดังนี้

 

____ หญิง ____ หญิง ____ หญิง ____ หญิง ____

 

จะเห็นว่า มีช่องว่างให้แทรก $5$ ช่อง นำนักเรียนชาย $4$ คนไปเรียงสับเปลี่ยนได้เท่ากับ $\displaystyle P_{5, 4} = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 120$ วิธี

ดังนั้น $n(A) = 24 \times 120$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
P(A) &=& \frac{n(A)}{n(S)}\\
&=& \frac{24 \times 120}{8!}\\
&=& \frac{\cancelto{3}{24} \times \cancel{120}}{\cancel{8} \times 7 \times 6 \times \cancel{5!}}\\
&=& \frac{\cancel{3}}{7 \times \cancelto{2}{6}}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle P(A) = \frac{1}{14}$

[STEP]หา $P(B)$[/STEP]

$P(B)$ แทนความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยืนติดกัน

เราจะใช้วิธีการเดิมคือให้นักเรียนชายยืนเรียงแถวก่อน จากนั้นนำนักเรียนหญิงไปแทรกช่องว่างระหว่างนักเรียนชาย ดังนี้

 

____ ชาย ____ ชาย ____ ชาย ____ ชาย ____

 

ซึ่งเป็นเหตุการณ์ลักษณะเดียวกับเหตุการณ์ $A$

ดังนั้น $\displaystyle P(B) = \frac{1}{14}$ เช่นกัน

[STEP]หา $P(A \cap B)$[/STEP]

เหตุการณ์ $A \cap B$ คือไม่มีนักเรียนชายสองคนใดยืนติดกันและไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยืนติดกันด้วย

นั่นคือนักเรียนชายและหญิงต้องยืนสลับกันคราวละ $1$ คน นั่นเอง

กรณีที่ 1:  นักเรียนชายนำหน้า

ชาย หญิง ชาย หญิง ชาย หญิง ชาย หญิง
$4$ $4$ $3$ $3$ $2$ $2$ $1$ $1$

สามารถจัดได้ $4! 4!$ วิธี

กรณีที่ 2:  นักเรียนหญิงนำหน้า

หญิง ชาย หญิง ชาย หญิง ชาย หญิง ชาย
$4$ $4$ $3$ $3$ $2$ $2$ $1$ $1$

สามารถจัดได้ $4! 4!$ วิธี เช่นกัน

ดังนั้น $n(A \cap B) = 2 (4!4!)$

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
P(A \cap B) &=& \frac{n(A \cap B)}{n(S)}\\
&=& \frac{2(4!4!)}{8!}\\
&=& \frac{2(4!\cancel{4!})}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times \cancel{4!}}\\
&=& \frac{2 \times 24}{8 \times 7 \times 6 \times 5}
\end{eqnarray*}

สามารถตัดได้อีก คือ

\begin{eqnarray*}
P(A \cap B) &=& \frac{\cancel{2} \times \cancelto{3}{24}}{\cancel{8} \times 7 \times \cancelto{3}{6} \times 5}\\
&=& \frac{\cancel{3}}{7 \times \cancel{3} \times 5}\\
&=& \frac{1}{35}
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $P(A \cup B)$[/STEP]

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
P(A \cup B) &=& P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\
&=& \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{35}\\
&=& \frac{2}{14} - \frac{1}{35}\\
&=& \frac{1}{7} - \frac{1}{35}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
P(A \cup B) &=& \frac{5}{35} - \frac{1}{35}\\
&=& \frac{4}{35}
\end{eqnarray*}

[ANS]$\displaystyle \frac{4}{35}$[/ANS]