กำหนดให้ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ โดยที่ $\vec{A} = 16 \vec{i} + a \vec{j}$ และ $\vec{B} = 8 \vec{i} + b \vec{j}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $|\vec{A}| = |\vec{B}|$ และเวกเตอร์ $\vec{B}$ ทำมุม $60^{\circ}$ กับเวกเตอร์ $\vec{A}$ แล้ว ค่าของ $(a+b)^2$ เท่ากับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $|\vec{A}| = |\vec{B}|$[/STEP]

จาก $|\vec{A}| = |\vec{B}|$ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sqrt{16^2 + a^2} &=& \sqrt{8^2 + b^2}\\
256 + a^2 &=& 64 + b^2\\
192 &=& b^2 - a^2 \;\;\;----\;(1)
\end{eqnarray*}

[STEP]พิจารณาผลคูณเชิงสเกลาร์ของ $\vec{A}$ กับ $\vec{B}$[/STEP]

เนื่องจาก $\vec{B}$ ทำมุม $60^\circ$ กับ $\vec{A}$ และ $|\vec{A}| = |\vec{B}|$ จะได้ผลคูณเชิงสเกลาร์คือ

\begin{eqnarray*}
\vec{A} \cdot \vec{B} &=& |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\\
\vec{A} \cdot \vec{B} &=& |\vec{A}|^2 \cos \theta\\
(16)(8) + ab &=& (\sqrt{16^2 + a^2})^2 \cos 60^\circ\\
128 + ab &=& (256 + a^2) \left( \frac{1}{2} \right)
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยการย้าย $\displaystyle \frac{1}{2}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2(128 + ab) &=& 256 + a^2\\
256 + 2ab &=& 256 + a^2\\
2ab &=& a^2
\end{eqnarray*}

จัดรูปโดยการดึงตัวร่วม ดังนี้

\begin{eqnarray*}
2ab &=& a^2\\
0 &=& a^2 - 2ab\\
0 &=& a(a-2b)
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $a = 0$ หรือ $a = 2b$

[STEP]พิจารณาค่า $a$ ทั้งสองกรณี[/STEP]

ถ้า $a=0$ แทนในสมการ $(1)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
192 &=& b^2 - 0\\
\pm \sqrt{192} &=& b
\end{eqnarray*}

ถ้า $a = 2b$ จะได้

\begin{eqnarray*}
192 &=& b^2 - (2b)^2\\
192 &=& b^2 - 4b^2\\
192 &=& -3b^2\\
-64 &=& b^2
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะได้ว่า $b \notin R$ จึงเป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $b = \pm \sqrt{192}$

[STEP]หา $(a+b)^2$[/STEP]

ถ้า $b = \sqrt{192}$ จะได้ $(a+b)^2 = (\sqrt{192})^2 = 192$

ถ้า $b = -\sqrt{192}$ จะได้ $(a+b)^2 = (-\sqrt{192})^2 = 192$

ดังนั้น $(a+b)^2 = 192$

[ANS]$192$[/ANS]

ถ้าโจทย์บอกมุมระหว่างเวกเตอร์ ให้นึกถึงสูตร $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$ ทันที

ความรู้ที่ใช้ : การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น การดอทเวกเตอร์