ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งมีโดนเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ $\displaystyle f^{-1} (x) = \frac{2x}{x+1}$ สำหรับทุกสมาชิก $x$ ในเรนจ์ของ $f$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)  $\displaystyle 2 f'(4) - f(4) = 3$

(ข)  $\displaystyle f''(f(4)) = f(f''(4))$

(ค)  $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(0, 2)$

ข้อใดถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]หา $f(x)$[/STEP]

จาก $\displaystyle f^{-1} (x) = \frac{2x}{x+1}$ หรือ $\displaystyle y = \frac{2x}{x+1}$

หา $f(x)$ โดยการสลับ $x$ และ $y$ แล้วจัดรูปใหม่ จะได้

\begin{eqnarray*}
x &=& \frac{2y}{y+1}\\
x(y+1) &=& 2y\\
xy + x &=& 2y
\end{eqnarray*}

ย้าย $y$ มาไว้ด้วยกันแล้วดึงตัวร่วม

\begin{eqnarray*}
xy - 2y &=& -x\\
y(x-2) &=& -x\\
y &=& -\frac{x}{x-2}\\
y &=& \frac{x}{2-x}
\end{eqnarray*}

นั่นคือ $\displaystyle f(x) = \frac{x}{2-x}$

[STEP]พิจารณา (ก)[/STEP]

หา $f'(4)$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{(2-x) \frac{d}{dx} (x) - x \frac{d}{dx} (2-x)}{(2-x)^2}\\
&=& \frac{(2-x)(1) - x(-1)}{(2-x)^2}\\
&=& \frac{2 - x + x}{(2-x)^2}\\
&=& \frac{2}{(2-x)^2}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
f'(4) &=& \frac{2}{(2-4)^2}\\
&=& \frac{2}{(-2)^2}\\
&=& \frac{2}{4}\\
&=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

และ $\displaystyle f(4) = \frac{4}{2-4} = \frac{4}{-2} = -2$

ดังนั้น $\displaystyle 2 f'(4) - f(4) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) - (-2) = 1 + 2 = 3$

(ก) ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ข)[/STEP]

หา $f''(x)$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 2 (2-x)^{-2}\\
f''(x) &=& 2 (-2) (2-x)^{-3} \frac{d}{dx} (2-x)\\
&=& \left[ \frac{-4}{(2-x)^3} \right] (-1)\\
&=& \frac{4}{(2-x)^3}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f''(f(4)) &=& f''(-2)\\
&=& \frac{4}{[2 - (-2)]^3}\\
&=& \frac{4}{4^3}\\
&=& \frac{1}{4^2}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle f''(f(4)) = \frac{1}{16}$

และ

\begin{eqnarray*}
f''(4) &=& \frac{4}{(2-4)^3}\\
&=& \frac{4}{(-2)^3}\\
&=& \frac{4}{-8}\\
&=& -\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

จะได้

\begin{eqnarray*}
f(f''(4)) &=& f \left( -\frac{1}{2} \right)\\
&=& \frac{\frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{2}}\\
&=& \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\\
&=& \frac{1}{3}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle f''(f(4)) \neq f(f''(4))$

(ข) ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ค)[/STEP]

จาก $\displaystyle f(x) = \frac{x}{2-x}$ 

และ $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(2-x)^2}$

$f$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงที่ $f'(x) > 0$ นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
\frac{2}{(2-x)^2} &>& 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุกค่า $x$ ยกเว้น $x=2$

ดังนั้น $f$ ก็เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(0, 2)$ ด้วย

(ค) ถูกต้อง

[ANS](ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด อินเวอร์สฟังก์ชัน สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน อนุพันธ์อันดับสูง