กำหนดให้ $C$ เป็นเส้นโค้งที่มีสมการ $\displaystyle y = 2 + x |x-1|$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $L$ เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง $C$ ที่จุด $(0, 2)$ และให้ $N$ เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง $L$ ที่จุด $(0, 2)$ แล้ว เส้นตรง $N$ ผ่านจุดใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณาโจทย์[/STEP]

โจทย์ถามว่าเส้นตรง $N$ ผ่านจุดใด ดังนั้นเราต้องสร้างสมการเส้นตรง $N$

และในการสร้างสมการเส้นตรง $N$ นั้น เราต้องทราบความชันของเส้นตรง $N$ นั่นคือ $\displaystyle m_N$

ซึ่ง $N$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $L$ ดังนั้น $m_N \cdot m_L = -1$

$L$ เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $C$ ที่จุด $(0,2)$ ดังนั้น เราสามารถหาความชันของเส้นตรง $L$ ได้จาก $\displaystyle m_L = \left. y' \right|_{x=0}$

[STEP]หา $m_L$[/STEP]

พิจารณาสมการเส้นโค้ง $C$ $\displaystyle y = 2 + x |x-1|$

ซึ่ง

\begin{eqnarray*}
|x-1| &=& \left\{ \begin{matrix} x-1 &\text{เมื่อ}& x \geq 1 \\ -(x-1) &\text{เมื่อ}& x < 1 \end{matrix} \right.
\end{eqnarray*}

เราต้องการหาอนุพันธ์ของ $y$ ที่ $x=0$ ดังนั้น $\displaystyle y = 2 + x[- (x-1)] = 2 - x^2 + x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
m_L &=& \left. y' \right|_{x=0}\\
&=& \left[-2x + 1\right]_{x=0}\\
&=& 1
\end{eqnarray*}

[STEP]สร้างสมการเส้นตรง $N$[/STEP]

เราได้ความชันของเส้นตรง $N$ คือ

\begin{eqnarray*}
m_N \cdot m_L &=& -1\\
m_N \cdot (1) &=& -1\\
m_N &=& -1
\end{eqnarray*}

สมการเส้นตรง $N$ คือ

\begin{eqnarray*}
y &=& mx + c\\
y &=& -x + c
\end{eqnarray*}

เส้นตรง $N$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $L$ ที่จุด $(0, 2)$ แสดงว่า $N$ ผ่านจุด $(0, 2)$ ด้วย จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
y &=& -x + c\\
2 &=& 0 + c\\
2 &=& c
\end{eqnarray*}

สมการเส้นตรง $N$ คือ $y = -x + 2$

[STEP]พิจารณาตัวเลือก[/STEP]

จาก $y = -x + 2$

ตัวเลือก A: $(-1, 3)$

\begin{eqnarray*}
3 &=& -(-1) + 2\\
3 &=& 3
\end{eqnarray*}

เป็นจริง แสดงว่าเส้นตรง $N$ ผ่านจุด $(-1, 3)$

ตัวเลือก B: $(1, 5)$

\begin{eqnarray*}
5 &=& -1 + 2\\
5 &=& 1
\end{eqnarray*}

ไม่จริง แสดงว่าเส้นตรง $N$ ไม่ผ่านจุด $(1, 5)$

ตัวเลือก C: $(-2, 5)$

\begin{eqnarray*}
5 &=& -(-2) + 2\\
5 &=& 4
\end{eqnarray*}

ไม่จริง แสดงว่าเส้นตรง $N$ ไม่ผ่านจุด $(-2, 5)$

ตัวเลือก D: $(3, -2)$

\begin{eqnarray*}
-2 &=& -3 + 2\\
-2 &=& -1
\end{eqnarray*}

ไม่จริง แสดงว่าเส้นตรง $N$ ไม่ผ่านจุด $(3, -2)$

ตัวเลือก E: $(-3, 4)$

\begin{eqnarray*}
4 &=& -(-3) + 2\\
4 &=& 5
\end{eqnarray*}

ไม่จริง แสดงว่าเส้นตรง $N$ ไม่ผ่านจุด $(-3, 4)$

[ANS]$(-1, 3)$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ความชันของเส้นโค้ง การประยุกต์สูตรการหาอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผัส