ค่าของ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\left( 1 - \frac{2x^3}{x^2+1} \right)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปลิมิต[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\left( 1 - \frac{2x^3}{x^2+1} \right) &=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{(x^2+1)-2x^3}{x^2+1} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{-2x^3 + x^2 + 1}{x^2+1} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{-1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{2x^3 - x^2 - 1}{x^2+1} \right)
\end{eqnarray*}

แยกตัวประกอบ $2x^3 - x^2 - 1$ โดยการหารสังเคราะห์ จะเห็นว่าถ้าแทน $x=1$ จะได้ $2(1^3) - 1^2 - 1 = 0$ จริง ดังนั้น

จะได้ $2x^3 - x^2 - 1 = (x-1)(2x^2 + x + 1)$ แทนค่ากลับในลิมิต

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{-1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{2x^3 - x^2 - 1}{x^2+1} \right) &=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{-1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{(x-1)(2x^2 + x + 1)}{x^2+1} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{(1-x)(2x^2 + x + 1)}{x^2+1} \right)\\
\end{eqnarray*}

จะสังเกตเห็นว่า $\displaystyle 1 - x = (\sqrt{1-x})^2$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{(1-x)(2x^2 + x + 1)}{x^2+1} \right) &=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{1-x}}\left( \frac{(\sqrt{1-x})^2(2x^2 + x + 1)}{x^2+1} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\cancel{\sqrt{1-x}}}\left( \frac{(\sqrt{1-x})^{\cancel{2}}(2x^2 + x + 1)}{x^2+1} \right)\\
&=& \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \left( \frac{(\sqrt{1-x})(2x^2 + x + 1)}{x^2+1} \right)
\end{eqnarray*}

เราสามารถแทนค่า $x=1$ เพื่อหาลิมิตได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \left( \frac{(\sqrt{1-x})(2x^2 + x + 1)}{x^2+1} \right) &=& \frac{(\sqrt{1-1})[2(1^2) + 1 + 1]}{1^2+1}\\
&=& 0
\end{eqnarray*}

[ANS]$0$[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : ลิมิตในรูปแบบไม่กำหนด