กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนตรรกยะ และกำหนดประโยคเปิด

$P(x)$ คือ $8x^3 - 4x - 1 = 0$
$Q(x)$ คือ $8x^4 - 8x^2 + x + 1 = 0$
$R(x)$ คือ $x^3 + x^2 > 0$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก)  $\displaystyle \exists x [P(x) \land Q(x)]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

(ข)  $\displaystyle \forall x [Q(x) \rightarrow R(x)]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

(ค)  $\displaystyle \forall x [P(x) \rightarrow R(x)]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ข้อใดถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]พิจารณา $P(x)$[/STEP]

จากสมการ $8x^3 - 4x - 1 = 0$ แก้สมการโดยการหารสังเคราะห์ จะเห็นว่าถ้าแทน $x$ ด้วย $\displaystyle -\frac{1}{2}$ สมการจะเป็นจริง ดังนั้น

จะได้

\begin{eqnarray*}
\left( x + \frac{1}{2} \right) (8x^2 - 4x - 2) &=& 0\\
\left( x + \frac{1}{2} \right) (4x^2 - 2x - 1) &=& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

หรือ $4x^2 - 2x - 1 = 0$

ใช้สูตร จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x &=& \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8}\\
&=& \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8}\\
&=& \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}
\end{eqnarray*}

แต่เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนตรรกยะ นั่นคือ $P(x)$ เป็นจริงเมื่อ $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

[STEP]พิจารณา $Q(x)$[/STEP]

จากสมการ $8x^4 - 8x^2 + x + 1 = 0$ แก้สมการโดยการหารสังเคราะห์ จะเห็นว่าถ้าแทน $x$ ด้วย $-1$ และ $\displaystyle \frac{1}{2}$ สมการจะเป็นจริง ดังนั้น

จะได้

\begin{eqnarray*}
(x+1) \left( x - \frac{1}{2} \right) (8x^2 - 4x - 2) &=& 0\\
(x+1) \left( x - \frac{1}{2} \right) (4x^2 - 2x - 1) &=& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $x = -1$

หรือ $\displaystyle x = \frac{1}{2}$

หรือ $4x^2 - 2x - 1 = 0$

ใช้สูตร จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x &=& \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8}\\
&=& \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8}\\
&=& \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}
\end{eqnarray*}

แต่เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนตรรกยะ นั่นคือ $Q(x)$ เป็นจริงเมื่อ $\displaystyle x = -1, \frac{1}{2}$

[STEP]พิจารณา $R(x)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
x^3  +x^2 &>& 0\\
x^2 (x+1) &>& 0
\end{eqnarray*}

เนื่องจาก $x^2$ เป็นบวกเสมอ จึงได้ว่า $x+1 > 0$ จึงจะคูณกับ $x^2$ แล้วมากกว่า $0$ จริง ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x + 1 &>& 0\\
x &>& -1
\end{eqnarray*}

แต่ $x \neq 0$ เพราะถ้า $x=0$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
x^3 + x^2 &>& 0\\
0^3 + 0^2 &>& 0\\
0 &>& 0
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่เป็นจริง

จะได้ว่า $R(x)$ เป็นจริงๆ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนตรรกยะที่มากกว่า $-1$ แต่ไม่เท่ากับ $0$

[STEP]พิจารณา (ก)[/STEP]

$\displaystyle \exists x [P(x) \land Q(x)]$ หมายความว่า จะต้องมี $x$ บางตัว ที่ทำให้ทั้ง $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นจริงพร้อมกัน

แต่ $P(x)$ เป็นจริงเมื่อ $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ และ $Q(x)$ เป็นจริงเมื่อ $\displaystyle x = -1, \frac{1}{2}$ ซึ่งไม่มี $x$ ค่าใดที่ทำให้ทั้ง $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นจริงพร้อมกันได้เลย

หมายความว่า $\displaystyle \exists x [P(x) \land Q(x)]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ดังนั้น (ก) ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ข)[/STEP]

$\displaystyle \forall x [Q(x) \rightarrow R(x)]$ หมายความว่า $x$ ทุกตัวที่ทำให้ $Q(x)$ เป็นจริง จะต้องทำให้ $R(x)$ เป็นจริงด้วย

ซึ่ง $x=-1$ ทำให้ $Q(x)$ เป็นจริง แต่ $R(x)$ เป็นเท็จ

เกิดเหตุการณ์ $T \rightarrow F \equiv F$ ทำให้ $\displaystyle \forall x [Q(x) \rightarrow R(x)]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ดังนั้น (ข) ไม่ถูกต้อง

[STEP]พิจารณา (ค)[/STEP]

$\displaystyle \forall x [P(x) \rightarrow R(x)]$ หมายความว่า $x$ ทุกตัวที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง จะต้องทำให้ $R(x)$ เป็นจริงด้วย

ซึ่ง $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง และยังทำให้ $R(x)$ เป็นจริงด้วย

หมายความว่า $\displaystyle \forall x [P(x) \rightarrow R(x)]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ดังนั้น (ค) ถูกต้อง

[ANS]ข้อ C (ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียว[/ANS]

ข้อนี้เราอาจไม่จำเป็นต้องแก้อสมการ $R(x)$ ก็ได้ เพราะในการพิจารณา (ข) และ (ค) นั้น เราเพียงแค่เอา $x$ ที่ทำให้ $Q(x)$ และ $P(x)$ เป็นจริง ไปแทนในอสมการ $x^3 + x^2 > 0$ แล้วตรวจสอบว่าเป็นจริงหรือไม่ ก็เพียงพอแล้ว

ความรู้ที่ใช้ : การแก้อสมการเศษส่วนพหุนาม