ให้พาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น $y^2 - 4y + 40x - 236 = 0$

โดยมี $V$ และ $F$ เป็นจุดยอดและโฟกัสของพาราโบลาตามลำดับ

ถ้าวงรีรูปหนึ่งผ่านจุด $(4, 6)$ และมีโฟกัสอยู่ที่ $V$ และ $F$ แล้ว สมการวงรีรูปนี้ตรงกับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการพาราโบลา[/STEP]

จัด $y$ ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

\begin{eqnarray*}
y^2 - 4y + 40x - 236 &=& 0\\
(y^2 - 4y + 4) - 4 &=& -40x + 236\\
(y - 2)^2 &=& -40x + 240\\
(y - 2)^2 &=& -40(x - 6)
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $4c = -40$ นั่นคือ $c = -10$ หมายความว่า พาราโบลามีจุดยอด $V(6, 2)$ ตะแคงซ้าย ระยะจากจุดยอดไปยังโฟกัส $10$ หน่วย

โฟกัสจึงมีพิกัด $(-4, 2)$ ดังรูป

[STEP]วาดรูปวงรี[/STEP]

จากรูป จุด $F$ และ $V$ กลายเป็นโฟกัสของวงรี (เปลี่ยนชื่อเป็น $F_1$ และ $F_2$ จะได้ไม่สับสนชื่อจุดครับ)

จะได้ว่า กึ่งกลางระหว่าง $F_1$ กับ $F_2$ คือจุดศูนย์กลางของวงรี ซึ่งมีพิกัดเป็น $(1, 2)$ นั่นเอง

นอกจากนี้ยังได้ว่า $c = 5$ อีกด้วย (ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสคือค่า $c$)

[STEP]พิจารณาผลบวกคงที่ของวงรี[/STEP]

พิจารณาผลบวก $|PF_1| + |PF_2|$ ซึ่งก็คือผลบวกคงที่ มีค่าเท่ากับ $2a$

\begin{eqnarray*}
|PF_1| &=& \sqrt{(4 - (-4))^2 + (6 - 2)^2}\\
&=& \sqrt{64 + 16}\\
&=& \sqrt{80}\\
&=& 4 \sqrt{5}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
|PF_2| &=& \sqrt{(4 - 6)^2 + (6 - 2)^2}\\
&=& \sqrt{4 + 16}\\
&=& \sqrt{20}\\
&=& 2 \sqrt{5}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
2a &=& |PF_1| + |PF_2|\\
&=& 4 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}\\
&=& 6 \sqrt{5}\\
a &=& 3 \sqrt{5}
\end{eqnarray*}

[STEP]หาค่า $b$ แล้วสร้างสมการวงรี[/STEP]

จาก $a = 3 \sqrt{5}$ และ $c = 5$ จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
a^2 &=& b^2 + c^2\\
(3 \sqrt{5})^2 &=& b^2 + 5^2\\
45 &=& b^2 + 25\\
20 &=& b^2
\end{eqnarray*}

สมการมาตรฐานของวงรีคือ $\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

จะได้สมการวงรีคือ $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{45} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1$

จัดให้อยู่ในรูปสมการทั่วไป

\begin{eqnarray*}
\frac{x^2 - 2x + 1}{45} + \frac{y^2 - 4y + 4}{20} &=& 1\\
\text{คูณตลอดด้วย $180$;}\;\;\;\;\;\;\;\; (\cancelto{4}{180})\frac{x^2 - 2x + 1}{\cancel{45}} + (\cancelto{9}{180})\frac{y^2 - 4y + 4}{\cancel{20}} &=& (180)1\\
4x^2 - 8x + 4 + 9y^2 - 36y + 36 &=& 180\\
\end{eqnarray*}

[ANS]สมการทั่วไปของวงรีคือ $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y - 140 = 0$[/ANS]

การวาดรูปจะช่วยให้เราสามารถทำโจทย์ภาคตัดกรวยได้ง่ายขึ้น

ความรู้ที่ใช้ : การสร้างสมการวงรี วงรี พาราโบลา