ให้วงกลม $C$ มีสมการเป็น $x^2 + y^2 + ax - 6y - 12 = 0$ เมื่อ $a > 0$

โดยระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลม $C$ ไปยังเส้นตรง $4x + 3y = 71$ เท่ากับ $14$ หน่วย

ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม $C$ และมี $y=7$ เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ แล้ว สมการของพาราโบลารูปนี้ตรงกับข้อใด

เฉลยละเอียด

[STEP]จัดรูปสมการวงกลมเพื่อหาจุดศูนย์กลาง[/STEP]

จาก $x^2 + y^2 + ax - 6y - 12 = 0$ เราจะจัดรูปโดยใช้กำลังสองสมบูรณ์ให้อยู่ในรูป $(x - h)^2  +(y - k)^2 = r^2$

\begin{eqnarray*}
(x^2 + ax) + (y^2 - 6y) - 12 &=& 0\\
\left[ x^2 + 2 x \left( \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \right] - \left( \frac{a}{2} \right)^2 + [y^2 - 2y(3) + 3^2] - 3^2 - 12 &=& 0\\
\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} + (y-3)^2 - 21 &=& 0\\
\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + (y-3)^2 &=& \frac{a^2}{4} + 21
\end{eqnarray*}

นั่นคือ จุดศูนย์กลางอยู่ที่ $\displaystyle \left ( -\frac{a}{2} , 3 \right )$

[STEP]หาค่า $a$ จากระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นตรง $4x + 3y = 71$[/STEP]

เนื่องจาก ระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นตรง $4x + 3y = 71$ เท่ากับ $14$ หน่วย

จากสูตรระยะระหว่างจุด $(x_1 , y_1)$ กับเส้นตรง $Ax + By + C = 0$ คือ $\displaystyle d = \frac{|A x_1 + B y_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

ดังนั้น ระยะระหว่างจุด $\displaystyle \left ( -\frac{a}{2} , 3 \right )$ กับเส้นตรง $4x + 3y = 71$ หรือ $4x + 3y - 71 = 0$ คือ

\begin{eqnarray*}
\frac{\left| 4 \left( -\frac{a}{2} \right) + 3(3) - 71 \right|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} &=& 14\\
\frac{\left| -2a - 62 \right|}{\sqrt{25}} &=& 14\\
\frac{\left| -2a - 62 \right|}{5} &=& 14\\
\left| -2a - 62 \right| &=& 70
\end{eqnarray*}

ดึงลบออกจากค่าสัมบูรณ์ จะได้

\begin{eqnarray*}
\left| -2a - 62 \right| &=& 70\\
\left| (-1)(2a + 62) \right| &=& 70\\
|-1| \left| 2a + 62 \right| &=& 70\\
\left| 2a + 62 \right| &=& 70
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $2a + 62 = 70$ หรือ $2a + 62 = -70$

ถ้า $2a + 62 = 70$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2a + 62 &=& 70\\
2a &=& 8\\
a &=& 4
\end{eqnarray*}

ถ้า $2a + 62 = -70$ จะได้

\begin{eqnarray*}
2a + 62 &=& -70\\
2a &=& -132\\
a &=& -66
\end{eqnarray*}

แต่ $a > 0$ ดังนั้น $a = 4$ จะได้ว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม $C$ คือ $(-2,3)$

[STEP]วาดรูปพาราโบลา[/STEP]

พาราโบลามีโฟกัสที่จุดศูนย์กลางของวงกลม $C$ นั่นคือจุด $(-2, 3)$ และมี $y=7$ เป็นเส้นไดเรกตริกซ์

จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่างโฟกัสกับเส้นไดเรกตริกซ์ นั่นคือจุด $(-2, 5)$ วาดรูปพาราโบลาได้ดังนี้

ค่า $c$ คือระยะจากจุดยอดไปยังโฟกัส ซึ่งห่าง $2$ หน่วย แต่กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ ดังนั้น $c = -2$

[STEP]สร้างสมการพาราโบลา[/STEP]

พาราโบลามีจุดยอด $(-2, 5)$ และ $c = -2$ กราฟอยู่ในแนวตั้ง กำลังสองอยู่ที่ $x$ สร้างสมการได้ว่า

\begin{eqnarray*}
(x + 2)^2 &=& 4(-2)(y - 5)\\
x^2 + 4x + 4 &=& -8y + 40\\
x^2 + 4x + 8y - 36 &=& 0
\end{eqnarray*}

[ANS]$x^2 + 4x + 8y - 36 = 0$[/ANS]

สมการทั่วไปของวงกลม $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $\displaystyle \left( -\frac{D}{2} , -\frac{E}{2} \right)$

ถ้าใครสามารถจำได้ ก็จะบอกได้เลยว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมในข้อนี้อยู่ที่ $\displaystyle \left ( -\frac{a}{2} , 3 \right )$

ความรู้ที่ใช้ : วงกลม การสร้างสมการวงกลม ระยะทางของจุดกับเส้นตรง การสร้างสมการเส้นตรง พาราโบลา การสร้างสมการพาราโบลา