ให้ $A,B$ เป็นจำนวนจริงใดๆ  แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $\cos75^{\circ}$ และ $\cos15^{\circ}$ โดยใช้ผลบวกและผลต่างมุม[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\cos75^{\circ} & = & \cos\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)\\
& = & \cos45^{\circ}\cos30^{\circ}-\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}\\
& = & \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\\
& = & \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\cos15^{\circ} & = & \cos\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)\\
& = & \cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}\\
& = & \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\\
& = & \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $\left(2-\sqrt{3}\right)\cos15^{\circ}$ ว่ามีค่าเท่ากับ $\cos75^{\circ}$ หรือไม่[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(2-\sqrt{3}\right)\cos15^{\circ} & = & \left(2-\sqrt{3}\right)\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\\
& = & \frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{4}\\
& = & \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray*}

[ANS]A เป็นจริง[/ANS]

[STEP]ใช้สูตรเปลี่ยน บวก $\rightarrow$ คูณ กับ $\cos 10^{\circ}+\sin 40^{\circ}$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\sin80^{\circ}+\cos50^{\circ}& = & \sin80^{\circ}+\sin40^{\circ}\\
& = & 2\sin\left(\frac{80^{\circ}+40^{\circ}}{2}\right)\cos\left(\frac{80^{\circ}-40^{\circ}}{2}\right)\\
& = & 2\sin60^{\circ}\cos20^{\circ}\\
& = & 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos20^{\circ}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าไม่เท่ากับ $\cos20^{\circ}$ ข้อ B จึงไม่ถูกต้อง

[STEP]ใช้สูตรเปลี่ยน บวก $\rightarrow$ คูณ รวม $\sin2A+\sin 4A$ และ $\sin 2A-\sin 4A$ เข้าด้วยกัน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\frac{\sin2A+\sin4A}{\sin2A-\sin4A} & = & \frac{2\sin3A\cos\left(-A\right)}{2\cos3A\sin\left(-A\right)}\\
& = & \frac{\sin3A/\cos3A}{-\sin A/\cos A}\\
& = & -\frac{\tan3A}{\tan A}
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ C ผิด[/ANS]

[STEP]รวม $\cos 2A -\cos 2B$ เข้าด้วยกัน[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\cos2A-\cos2B & = & -2\sin\left(\frac{2A+2B}{2}\right)\sin\left(\frac{2A-2B}{2}\right)\\
& = & -2\sin\left(A+B\right)\sin\left(A-B\right)
\end{eqnarray*}

[ANS]ข้อ D ผิด[/ANS]

ความรู้ที่ใช้ : สูตรเปลี่ยนคูณเป็นบวก สูตรผลรวมและผลต่างมุม สูตรเปลี่ยนบวกเป็นคูณ