กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง และให้ $I$ แทนเซตของจำนวนเต็ม  ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันจาก $R$ ไป $R$ โดยที่

$$f(x+4)=x^3+12x^2+39x$$

สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ 

$$g^{-1}\left(2x+1\right)=x+3$$

สำหรับทุกจำนวนจริง $x$

ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกต้องบ้าง (ตอบกี่ตัวเลือกก็ได้)

เฉลยละเอียด

[STEP]คำนวณ $f(0)$ โดยแทนค่า $x=-4$ ในสมการ $f(x+4)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f\left(\left(-4\right)+4\right) & = & \left(-4\right)^{3}+12\left(-4\right)^{2}+39\left(-4\right)\\
f(0)& = & -28
\end{eqnarray*}

[STEP]คอมโพสิทด้วย $g$ ทั้งสองข้างของสมการ $g^{-1}$ แล้วแทนค่า $x=-3$ เพื่อหาค่า $g(0)$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
g\left(g^{-1}\left(2x+1\right)\right) & = & g\left(x+3\right)\\
2x+1 & = & g\left(x+3\right)
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=-3$ เพื่อหาค่า $g(0)$
\begin{eqnarray*}
g\left(\left(-3\right)+3\right) & = & 2\left(-3\right)+1\\
g\left(0\right) & = & -5
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
\left(f-g\right)\left(0\right) & = & f\left(0\right)-g\left(0\right)\\
& = & -28-\left(-5\right)\\
& = & -23
\end{eqnarray*}

ซึ่งไม่ได้น้อยกว่า $-25$ [ANS]ข้อความแรกผิด[/ANS]

[STEP]คอมโพสิท $g^{-1}$ ทั้งสองข้างของสมการ[/STEP]

\begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & 99\\
g^{-1}\left(g\circ f\right)\left(x\right) & = & g^{-1}\left(99\right)\\
f\left(x\right) & = & g^{-1}\left(99\right)\quad\left(\star\right)
\end{eqnarray*}

[STEP]คำนวณ $g^{-1}(99)$[/STEP]

แก้สมการ $2x+1=99$ เพื่อหาว่าต้องแทนค่า $x$ เท่ากับเท่าใด จึงทำให้ได้  $g^{-1}(99)$

\begin{eqnarray*}
2x+1 & = & 99\\
x & = & 49
\end{eqnarray*}

แทนค่า $x=49$ ในสมการ $g^{-1}(2x+1)$ ได้

\begin{eqnarray*}
g^{-1}\left(2\left(49\right)+1\right) & = & \left(49+3\right)\\
g^{-1}\left(99\right) & = & 52
\end{eqnarray*}

[STEP]แทนค่า $g^{-1}(99)=52$ ลงในในสมการ $(\star)$ แล้วแก้สมการหา $x$[/STEP]

\begin{eqnarray*}
f\left(x\right) & = & g^{-1}\left(99\right)\\
f\left(x\right) & = & 52\\
x&=&f^{-1}(52)
\end{eqnarray*}

[STEP]หา $f^{-1}(52)$[/STEP]

จากสมการ $f(x+4)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f\left(x+4\right) & = & x^{3}+12x^{2}+39x\\
x+4 & = & f^{-1}\left(x^{3}+12x^{2}+39x\right)\quad\cdots(\star\star)
\end{eqnarray*}

แก้สมการ $x^3+12x^2+39x=52$ เพื่อหา $x$ ที่ทำให้มีค่าเป็น $52$ เพื่อหาค่า $f^{-1}(52)$

\begin{eqnarray*}
x^{3}+12x^{2}+39x & = & 52\\
x^{3}+12x^{2}+39x-52 & = & 0
\end{eqnarray*}

พบว่าเมื่อแทนค่า $x=1$ จะได้ $0$ โดยทฤษฎีเศษเหลือจะได้ $x-1$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของพหุนามข้างบน และเมื่อใช้วิธีหารสังเคราะห์เพื่อแยกตัวประกอบออก พบว่า

$$x^{3}+12x^{2}+39x-52=\left(x-1\right)\left(x^{2}+13x+52\right)$$

ซึ่งมี $x=1$ เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเพียงคำตอบเดียว แทนค่า $x=1$ ใน $(\star\star)$

$$f^{-1}(52)=(1)+4=5$$

ดังนั้นสมการ $g\circ f(x)=99$ มีคำตอบเป็น $x=5$ เซตดังกล่าวจึงไม่ว่าง [ANS]ข้อความที่สองกล่าวไม่ถูกต้อง[/ANS]


ความรู้ที่ใช้ : ฟังก์ชันประกอบ อินเวอร์สฟังก์ชัน